Что такое интегральный гиперболический синус Shi(x)?
Интегральный гиперболический синус, обозначаемый \(\operatorname{Shi}(x)\), — это специальная функция, определяемая как определённый интеграл от \(\sinh(t)/t\) в пределах от 0 до \(x\). Хотя на первый взгляд кажется, что подынтегральное выражение должно обращаться в бесконечность при \(t = 0\), эта особенность устранимая: при стремлении \(t\) к 0 отношение \(\sinh(t)/t\) стремится к 1. Благодаря этому функция \(\operatorname{Shi}(x)\) аналитична на всей вещественной оси, при этом \(\operatorname{Shi}(0) = 0\), и является нечётной, то есть \(\operatorname{Shi}(-x) = -\operatorname{Shi}(x)\).
Как пользоваться калькулятором
Введите любое вещественное число \(x\) в поле ввода — калькулятор вернёт значение \(\operatorname{Shi}(x)\). Если \(x\) больше нуля, он дополнительно выведет связанный интегральный гиперболический косинус \(\operatorname{Chi}(x)\). При \(x \le 0\) значение \(\operatorname{Chi}(x)\) не определено, поскольку оно содержит \(\ln(x)\) и переходит в комплексную ветвь. Результаты отображаются примерно с двенадцатью значащими цифрами благодаря вычислениям с двойной точностью.
Разбор формулы
Этот инструмент суммирует ряд Маклорена $$\operatorname{Shi}(x) = x + \frac{x^{3}}{3\cdot 3!} + \frac{x^{5}}{5\cdot 5!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{\,2n+1}}{(2n+1)\,(2n+1)!}$$ который сходится при любом вещественном \(x\). Каждое слагаемое вычисляется на основе предыдущего, чтобы избежать переполнения при вычислении факториалов, а суммирование прекращается, когда очередное слагаемое становится пренебрежимо малым по сравнению с накопленной суммой. \(\operatorname{Chi}(x)\) вычисляется по формуле $$\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac{x^{2}}{2\cdot 2!} + \frac{x^{4}}{4\cdot 4!} + \dots$$ где \(\gamma\) — постоянная Эйлера — Маскерони, приблизительно равная \(0{,}5772156649\).
Пример расчёта
Для \(x = 1\) ряд даёт $$1 + \frac{1}{18} + \frac{1}{600} + \frac{1}{35280} + \dots \approx 1{,}0572508754.$$ Известное эталонное значение составляет \(\operatorname{Shi}(1) = 1{,}0572508753757285\), а \(\operatorname{Chi}(1) = 0{,}8378669409765007\) — оба совпадают с результатом калькулятора.
Часто задаваемые вопросы
Совпадает ли Shi(x) с интегральным синусом Si(x)? Нет. \(\operatorname{Si}(x)\) интегрирует \(\sin(t)/t\), тогда как \(\operatorname{Shi}(x)\) интегрирует гиперболический \(\sinh(t)/t\). Они связаны соотношением \(\operatorname{Shi}(x) = -i\cdot\operatorname{Si}(ix)\).
Почему Chi не определена при x ≤ 0? Функция \(\operatorname{Chi}(x)\) содержит \(\ln(x)\); при отрицательных \(x\) это значение становится комплексным, а при \(x = 0\) расходится к минус бесконечности.
Насколько большим может быть x? Поскольку \(\sinh\) растёт примерно как \(e^{|x|}/2\), при двойной точности переполнение наступает около \(|x| \approx 700\). Для умеренных значений ряд обеспечивает исключительную точность.
