Калькулятор гиперболического косинус-интеграла Chi(x)

Введите расчет

x (аргумент, должен быть > 0)

Результатов

1

Гиперболический косинус-интеграл Chi(x)

0,837866941

безразмерная величина

Функция	Chi(x) = γ + ln(x) + ∫₀ˣ (cosh t − 1)/t dt
Метод	Степенной ряд (x ≤ 20) / асимптотическое разложение (x > 20)

Что такое гиперболический косинус-интеграл Chi(x)?

Гиперболический косинус-интеграл, обозначаемый Chi(x), — это специальная функция, заданная выражением $$\mathrm{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \int_0^x \frac{\cosh t - 1}{t}\,dt$$ где \(\gamma\) — постоянная Эйлера–Маскерони (приблизительно 0,5772156649). Это гиперболический аналог обычного косинус-интеграла \(\mathrm{Ci}(x)\); функция встречается в физике, анализе сигналов и теории интегральных показательных функций. Данный калькулятор вычисляет Chi(x) для любого вещественного аргумента \(x\), большего нуля.

Интегральный гиперболический косинус Chi(x) при \(x > 0\): уходит в минус бесконечность около нуля и круто возрастает.

Как пользоваться калькулятором

Введите положительное вещественное число \(x\) и нажмите кнопку расчёта. Результатом будет безразмерное значение Chi(x). Поскольку в Chi(x) входит слагаемое \(\ln(x)\), при стремлении \(x\) к нулю справа функция уходит в минус бесконечность и не определена при вещественных \(x \le 0\), поэтому инструмент принимает только значения \(x > 0\). При малых аргументах Chi(x) отрицательна, обращается в ноль вблизи \(x = 0{,}523822\), а затем становится положительной и быстро возрастает.

Разбор формулы

Для практических вычислений используется всюду сходящийся степенной ряд $$\mathrm{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{96} + \frac{x^6}{4320} + \dots$$ то есть сумма по \(k\) слагаемых \(\frac{x^{2k}}{(2k)(2k)!}\). Члены ряда суммируются до тех пор, пока их вклад не станет меньше машинной точности относительно частичной суммы. При очень больших \(x\) (\(x > 20\)) члены ряда могут вызвать переполнение двойной точности, поэтому калькулятор переходит к асимптотическому разложению $$\mathrm{Chi}(x) \sim \frac{e^x}{2x}\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} + \dots\right)$$

Интегральный член накапливает площадь под \(\frac{\cosh t - 1}{t}\) от 0 до \(x\).

Пример расчёта

При \(x = 1\) имеем \(\ln(1) = 0\), а ряд даёт $$0{,}25 + 0{,}0104167 + 0{,}0002315 + \dots = 0{,}2606514$$ Прибавляя \(\gamma\), получаем: $$\mathrm{Chi}(1) = 0{,}5772157 + 0{,}2606514 = 0{,}8378670$$ что совпадает с эталонным значением \(\mathrm{Chi}(1) = 0{,}8378670410\).

Частые вопросы

Почему x должен быть положительным? Из-за слагаемого \(\ln(x)\) функция Chi(x) не определена при вещественных \(x \le 0\); для отрицательных \(x\) главное значение комплексно: \(\mathrm{Chi}(x) = \mathrm{Chi}(|x|) + i\pi\).

Как Chi связана с другими функциями? При \(x > 0\) выполняется \(\mathrm{Chi}(x) = \frac{\mathrm{Ei}(x) + E_1(x)}{2}\), а также \(\mathrm{Chi}(x) + \mathrm{Shi}(x) = \mathrm{Ei}(x)\), где \(\mathrm{Shi}\) — гиперболический синус-интеграл.

Насколько точен результат? Вычисления выполняются с двойной точностью и для типичных значений дают около 15 значащих цифр.