Tích phân elliptic đầy đủ loại ba là gì?
Tích phân elliptic đầy đủ loại ba, ký hiệu \(\Pi(n,k)\), là một hàm đặc biệt xuất hiện trong cơ học cổ điển (chẳng hạn chu kỳ dao động của con lắc có thêm các số hạng kiểu tắt dần), trong điện từ học và trong hình học. Nó được định nghĩa là tích phân của 1 chia cho (1 − n sin² theta) nhân với căn bậc hai của (1 − k² sin² theta), lấy từ theta = 0 đến pi/2.
$$\Pi(n,k) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\left(1 - \text{n}\,\sin^{2}\theta\right)\sqrt{1 - \text{k}^{2}\,\sin^{2}\theta}}$$Công cụ này tính giá trị số của hàm và thuần túy là một công cụ toán học, cho kết quả giống hệt nhau ở mọi nơi.
Quy ước được dùng tại đây
Mỗi giáo trình lại dùng một quy ước khác nhau, nên bạn hãy đọc kỹ phần này. Chúng tôi dùng quy ước mô-đun k: biểu thức dưới căn chứa \(k^{2}\sin^{2}\theta\). Một số tài liệu lại dùng tham số m, với \(m = k^{2}\). Chúng tôi cũng dùng đặc trưng n trong thừa số \((1 - n\sin^{2}\theta)\) mà không bình phương \(n\). Một vài tài liệu viết thừa số này thành \((1 + n\sin^{2}\theta)\); để khớp với chúng, bạn chỉ cần đổi dấu của \(n\). Vì \(k\) chỉ xuất hiện ở dạng bình phương nên dấu của \(k\) không làm thay đổi kết quả.
Cách sử dụng
Nhập đặc trưng \(n\) và mô-đun \(k\). Để có một giá trị hữu hạn thông thường, hãy giữ \(|k| < 1\) và \(n < 1\). Công cụ tính tích phân bằng quy tắc Simpson hợp thành với 200.000 khoảng chia, cho khoảng mười chữ số có nghĩa trở lên đối với các giá trị đầu vào ổn định.
Ví dụ minh họa
Lấy \(n = 0{,}7\) và \(k = 0{,}1\). Một ước lượng nhanh là $$\Pi(n,0) = \frac{\pi/2}{\sqrt{1 - n}} = \frac{1{,}5707963}{\sqrt{0{,}3}} = 2{,}86790.$$ Khi cộng thêm phần hiệu chỉnh nhỏ do \(k = 0{,}1\) mang lại, giá trị tăng lên đôi chút, và phép tích phân số đầy đủ cho kết quả \(\Pi(0{,}7;\,0{,}1)\) xấp xỉ \(2{,}87224\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu n = 0 thì sao? Khi đó \(\Pi(0,k)\) bằng \(K(k)\), tức tích phân elliptic đầy đủ loại một.
Nếu k = 0 thì sao? Biểu thức dưới dấu tích phân được rút gọn và \(\Pi(n,0) = \frac{\pi/2}{\sqrt{1 - n}}\) với \(n < 1\).
Vì sao không cho phép n = 1? Thừa số trở thành \(\cos^{2}\theta\), tạo ra một điểm kỳ dị không khả tích tại \(\theta = \pi/2\), nên tích phân phân kỳ. Các giá trị \(n > 1\) đòi hỏi giá trị chính Cauchy, điều mà máy tính cơ bản này không xử lý.
