Qué hace esta calculadora
Esta herramienta resuelve inecuaciones con valor absoluto escritas en la forma estándar \(|ax + b|\) comparado con \(c\), donde la comparación puede ser <, ≤, > o ≥. Introduce el coeficiente \(a\), la constante interior \(b\), el tipo de desigualdad y el valor \(c\) del lado derecho, y la calculadora te devuelve el conjunto solución exacto como un intervalo, junto con sus puntos frontera.
Cómo usarla
Elige los valores de modo que tu inecuación coincida con \(|ax + b|\) ? \(c\). Por ejemplo, \(|2x - 4| \le 6\) significa \(a = 2\), \(b = -4\), tipo «≤» y \(c = 6\). Envía el formulario para ver el intervalo solución. Los corchetes [ ] indican que el extremo está incluido (≤ o ≥) y los paréntesis ( ) indican que está excluido (< o >).
La fórmula explicada
El valor absoluto mide la distancia al cero, por lo que nunca es negativo. En una inecuación de tipo «menor que», \(|ax+b| < c\) indica que la expresión se mantiene a una distancia menor que \(c\) del cero, lo que da la inecuación compuesta
$$|ax+b| < c \;\Longrightarrow\; -c < ax+b < c$$Al despejar \(x\) se obtiene un único intervalo acotado entre \(\frac{-c-b}{a}\) y \(\frac{c-b}{a}\):
$$|ax+b| < c \;\Longleftrightarrow\; \frac{-c-b}{a} < x < \frac{c-b}{a}$$En una inecuación de tipo «mayor que», la expresión debe estar a una distancia mayor que \(c\) del cero, de modo que se divide en dos semirrectas: \(ax+b < -c\) O BIEN \(ax+b > c\), lo que produce una unión de dos intervalos:
$$|ax+b| > c \;\Longleftrightarrow\; x < \tfrac{-c-b}{a}\ \text{or}\ x > \tfrac{c-b}{a}$$Casos especiales: si \(c\) es negativo, la forma «menor que» no tiene solución, mientras que la forma «mayor que» se satisface para todos los números reales.
Ejemplo resuelto
Resolvamos \(|2x - 4| \le 6\). Aquí \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 6\). Reescribimos:
$$-6 \le 2x - 4 \le 6$$Sumamos 4:
$$-2 \le 2x \le 10$$Dividimos entre 2:
$$-1 \le x \le 5$$El conjunto solución es el intervalo cerrado \([-1, 5]\).
Términos y Símbolos Clave
- Valor absoluto \(|u|\)
- La distancia de un número respecto a cero en la recta numérica, siempre no negativa. Por ejemplo \(|-3| = 3\) y \(|5| = 5\). Debido a que es una distancia, \(|u| \ge 0\) para cada valor de \(u\).
- Punto fronterizo
- Un valor de \(x\) donde la expresión de valor absoluto es exactamente igual a \(c\) — el punto divisorio entre solución y no solución. Se encuentran resolviendo la ecuación relacionada \(|ax+b| = c\).
- Intervalo abierto
- Un intervalo que no incluye sus extremos, utilizado para desigualdades estrictas (\(<, >\)). Escrito con paréntesis, p. ej. \((-1, 5)\).
- Intervalo cerrado
- Un intervalo que sí incluye sus extremos, utilizado para desigualdades inclusivas (\(\le, \ge\)). Escrito con corchetes, p. ej. \([-1, 5]\).
- Corchetes \([\;]\) vs paréntesis \((\;)\)
- Un corchete cuadrado significa que el extremo es parte de la solución (\(\le\) o \(\ge\)); un paréntesis significa que el extremo está excluido (\(<\) o \(>\)). El infinito siempre usa un paréntesis.
- Unión \(\cup\)
- Combina dos conjuntos separados en una solución. Una desigualdad de valor absoluto "mayor que" produce una unión de dos rayos, p. ej. \((-\infty,-1)\cup(5,\infty)\).
- Conjunción ("y") vs disyunción ("o")
- Una conjunción requiere que ambas condiciones se cumplan al mismo tiempo y produce un único intervalo acotado (el caso "\(<\)"). Una disyunción requiere que solo una condición se cumpla y produce una unión de dos rayos (el caso "\(>\)").
- Coeficientes \(a\), \(b\), \(c\)
- En \(|ax+b| \;\square\; c\): \(a\) es el coeficiente que multiplica \(x\) dentro de las barras, \(b\) es la constante sumada dentro de las barras, y \(c\) es el valor en el lado derecho contra el cual se compara el valor absoluto.
Preguntas frecuentes
¿Y si a es negativo? La calculadora lo gestiona automáticamente ordenando los dos valores frontera de menor a mayor, de manera que el intervalo siempre se muestra de forma correcta.
¿Por qué \(|ax+b| < 0\) no tiene solución? El valor absoluto nunca es negativo, así que nunca puede ser menor que un número negativo (ni menor que 0).
¿Qué significa el símbolo ∪? Es el símbolo de unión e indica que la respuesta está formada por dos intervalos distintos combinados, como ocurre con las inecuaciones de tipo «mayor que».
