यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल निरपेक्ष मान वाली असमिकाओं को हल करता है, जो मानक रूप \(|ax + b|\) की \(c\) से तुलना के रूप में लिखी जाती हैं, जहाँ तुलना <, ≤, > या ≥ में से कोई भी हो सकती है। आप गुणांक \(a\), अंदर का स्थिरांक \(b\), असमिका का प्रकार, और दाईं ओर का मान \(c\) दर्ज करें — कैलकुलेटर सटीक हल समुच्चय को एक अंतराल के रूप में, उसके सीमा-बिंदुओं सहित, लौटा देगा।
इसका उपयोग कैसे करें
मान इस तरह चुनें कि आपकी असमिका \(|ax + b| \mathbin{?} c\) से मेल खाए। उदाहरण के लिए, \(|2x - 4| \le 6\) का अर्थ है \(a = 2\), \(b = -4\), प्रकार "≤", और \(c = 6\)। हल का अंतराल देखने के लिए फ़ॉर्म सबमिट करें। वर्गाकार कोष्ठक [ ] दर्शाते हैं कि अंतिम बिंदु शामिल है (≤ या ≥), और साधारण कोष्ठक ( ) दर्शाते हैं कि वह बिंदु शामिल नहीं है (< या >)।
सूत्र की व्याख्या
निरपेक्ष मान शून्य से दूरी को मापता है, इसलिए यह कभी ऋणात्मक नहीं होता। "से छोटा" वाली असमिका में, \(|ax+b| < c\) यह कहता है कि व्यंजक शून्य से \(c\) दूरी के भीतर रहता है, जिससे संयुक्त असमिका बनती है:
$$|ax+b| < c \;\Longrightarrow\; -c < ax+b < c$$\(x\) के लिए हल करने पर \(\frac{-c-b}{a}\) और \(\frac{c-b}{a}\) के बीच एक ही परिबद्ध अंतराल मिलता है:
$$|ax+b| < c \;\Longleftrightarrow\; \frac{-c-b}{a} < x < \frac{c-b}{a}$$"से बड़ा" वाली असमिका में, व्यंजक को शून्य से \(c\) से अधिक दूर होना चाहिए, इसलिए यह दो किरणों में बँट जाता है:
$$|ax+b| > c \;\Longleftrightarrow\; x < \tfrac{-c-b}{a}\ \text{or}\ x > \tfrac{c-b}{a}$$जिससे दो अंतरालों का संघ बनता है। विशेष स्थितियाँ: यदि \(c\) ऋणात्मक है, तो "से छोटा" रूप का कोई हल नहीं होता, जबकि "से बड़ा" रूप सभी वास्तविक संख्याओं से संतुष्ट होता है।
हल किया गया उदाहरण
\(|2x - 4| \le 6\) हल करें। यहाँ \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 6\)। दोबारा लिखें:
$$-6 \le 2x - 4 \le 6$$4 जोड़ें:
$$-2 \le 2x \le 10$$2 से भाग दें:
$$-1 \le x \le 5$$हल समुच्चय बंद अंतराल \([-1, 5]\) है।
मुख्य शर्तें और प्रतीक
- निरपेक्ष मान \(|u|\)
- संख्या रेखा पर शून्य से किसी संख्या की दूरी, हमेशा गैर-नकारात्मक होती है। उदाहरण के लिए \(|-3| = 3\) और \(|5| = 5\)। क्योंकि यह एक दूरी है, \(|u| \ge 0\) है \(u\) के हर मान के लिए।
- सीमा बिंदु
- \(x\) का एक मान जहाँ निरपेक्ष मान व्यंजक बिल्कुल \(c\) के बराबर होता है — समाधान और गैर-समाधान के बीच विभाजन बिंदु। इन्हें संबंधित समीकरण \(|ax+b| = c\) को हल करके खोजा जाता है।
- खुला अंतराल
- एक अंतराल जो अपने अंतबिंदुओं को शामिल नहीं करता है, कड़ी असमानताओं के लिए उपयोग किया जाता है (\(<, >\))। कोष्ठकों के साथ लिखा जाता है, उदा. \((-1, 5)\)।
- बंद अंतराल
- एक अंतराल जो अपने अंतबिंदुओं को शामिल करता है, समावेशी असमानताओं के लिए उपयोग किया जाता है (\(\le, \ge\))। वर्गाकार कोष्ठकों के साथ लिखा जाता है, उदा. \([-1, 5]\)।
- वर्गाकार कोष्ठक \([\;]\) बनाम कोष्ठक \((\;)\)
- एक वर्गाकार कोष्ठक का अर्थ है अंतबिंदु समाधान का भाग है (\(\le\) या \(\ge\)); एक कोष्ठक का अर्थ है अंतबिंदु को छोड़ा गया है (\(<\) या \(>\))। अनंत हमेशा एक कोष्ठक का उपयोग करता है।
- संघ \(\cup\)
- दो अलग-अलग सेटों को एक समाधान में जोड़ता है। एक "बड़ा है" निरपेक्ष मान असमानता दो किरणों का एक संघ बनाता है, उदा. \((-\infty,-1)\cup(5,\infty)\)।
- संयोजन ("और") बनाम विभाजन ("या")
- एक संयोजन को दोनों शर्तों को एक साथ रखने की आवश्यकता होती है और एक एकल बद्ध अंतराल प्राप्त होता है ("\(<\)" स्थिति)। एक विभाजन को केवल एक शर्त की आवश्यकता होती है और दो किरणों का एक संघ प्राप्त होता है ("\(>\)" स्थिति)।
- गुणांक \(a\), \(b\), \(c\)
- \(|ax+b| \;\square\; c\) में: \(a\) बार के अंदर \(x\) को गुणा करने वाला गुणांक है, \(b\) बार के अंदर जोड़ी गई स्थिरांक है, और \(c\) दाहिनी ओर का मान है जिसके विरुद्ध निरपेक्ष मान की तुलना की जाती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि \(a\) ऋणात्मक हो तो क्या होगा? कैलकुलेटर इसे स्वतः संभाल लेता है — दोनों सीमा-मानों को सबसे छोटे से सबसे बड़े क्रम में लगाकर, ताकि अंतराल हमेशा सही ढंग से बताया जाए।
\(|ax+b| < 0\) का कोई हल क्यों नहीं होता? निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए यह किसी ऋणात्मक संख्या से (या 0 से) कभी छोटा नहीं हो सकता।
∪ चिह्न का क्या अर्थ है? यह संघ (union) का चिह्न है, जो दर्शाता है कि उत्तर दो अलग-अलग अंतरालों को मिलाकर बना है, जैसा कि "से बड़ा" वाली असमिकाओं में होता है।
