यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल निरपेक्ष मान वाली असमिकाओं को हल करता है, जो मानक रूप $|ax + b|$ की $c$ से तुलना के रूप में लिखी जाती हैं, जहाँ तुलना <, ≤, > या ≥ में से कोई भी हो सकती है। आप गुणांक $a$, अंदर का स्थिरांक $b$, असमिका का प्रकार, और दाईं ओर का मान $c$ दर्ज करें — कैलकुलेटर सटीक हल समुच्चय को एक अंतराल के रूप में, उसके सीमा-बिंदुओं सहित, लौटा देगा।

इसका उपयोग कैसे करें

मान इस तरह चुनें कि आपकी असमिका $|ax + b| \mathbin{?} c$ से मेल खाए। उदाहरण के लिए, $|2x - 4| \le 6$ का अर्थ है $a = 2$, $b = -4$, प्रकार "≤", और $c = 6$। हल का अंतराल देखने के लिए फ़ॉर्म सबमिट करें। वर्गाकार कोष्ठक [ ] दर्शाते हैं कि अंतिम बिंदु शामिल है (≤ या ≥), और साधारण कोष्ठक ( ) दर्शाते हैं कि वह बिंदु शामिल नहीं है (< या >)।

सूत्र की व्याख्या

निरपेक्ष मान शून्य से दूरी को मापता है, इसलिए यह कभी ऋणात्मक नहीं होता। "से छोटा" वाली असमिका में, $|ax+b| < c$ यह कहता है कि व्यंजक शून्य से $c$ दूरी के भीतर रहता है, जिससे संयुक्त असमिका बनती है:

$$|ax+b| < c \;\Longrightarrow\; -c < ax+b < c$$

$x$ के लिए हल करने पर $\frac{-c-b}{a}$ और $\frac{c-b}{a}$ के बीच एक ही परिबद्ध अंतराल मिलता है:

$$|ax+b| < c \;\Longleftrightarrow\; \frac{-c-b}{a} < x < \frac{c-b}{a}$$

"से बड़ा" वाली असमिका में, व्यंजक को शून्य से $c$ से अधिक दूर होना चाहिए, इसलिए यह दो किरणों में बँट जाता है:

$$|ax+b| > c \;\Longleftrightarrow\; x < \tfrac{-c-b}{a}\ \text{or}\ x > \tfrac{c-b}{a}$$

जिससे दो अंतरालों का संघ बनता है। विशेष स्थितियाँ: यदि $c$ ऋणात्मक है, तो "से छोटा" रूप का कोई हल नहीं होता, जबकि "से बड़ा" रूप सभी वास्तविक संख्याओं से संतुष्ट होता है।

संख्या रेखा जो बृहत्-से निरपेक्ष मान असमिका के लिए बाहर की ओर जाती दो किरणें दिखाती है — $|ax+b| > c$ के लिए हल सीमा बिंदुओं से बाहर की ओर फैलती दो किरणें होती हैं (एक 'या' / वियोजन स्थिति)।

संख्या रेखा जो लघु-से निरपेक्ष मान असमिका के लिए -c और c के बीच हल अंतराल दिखाती है — $|ax+b| < c$ के लिए हल दोनों सीमा बिंदुओं के बीच का अंतराल होता है (एक 'और' / संयोजन स्थिति)।

हल किया गया उदाहरण

$|2x - 4| \le 6$ हल करें। यहाँ $a = 2$, $b = -4$, $c = 6$। दोबारा लिखें:

$$-6 \le 2x - 4 \le 6$$

4 जोड़ें:

$$-2 \le 2x \le 10$$

2 से भाग दें:

$$-1 \le x \le 5$$

हल समुच्चय बंद अंतराल $[-1, 5]$ है।

मुख्य शर्तें और प्रतीक

निरपेक्ष मान $|u|$: संख्या रेखा पर शून्य से किसी संख्या की दूरी, हमेशा गैर-नकारात्मक होती है। उदाहरण के लिए $|-3| = 3$ और $|5| = 5$। क्योंकि यह एक दूरी है, $|u| \ge 0$ है $u$ के हर मान के लिए।
सीमा बिंदु: $x$ का एक मान जहाँ निरपेक्ष मान व्यंजक बिल्कुल $c$ के बराबर होता है — समाधान और गैर-समाधान के बीच विभाजन बिंदु। इन्हें संबंधित समीकरण $|ax+b| = c$ को हल करके खोजा जाता है।
खुला अंतराल: एक अंतराल जो अपने अंतबिंदुओं को शामिल नहीं करता है, कड़ी असमानताओं के लिए उपयोग किया जाता है ($<, >$)। कोष्ठकों के साथ लिखा जाता है, उदा. $(-1, 5)$।
बंद अंतराल: एक अंतराल जो अपने अंतबिंदुओं को शामिल करता है, समावेशी असमानताओं के लिए उपयोग किया जाता है ($\le, \ge$)। वर्गाकार कोष्ठकों के साथ लिखा जाता है, उदा. $[-1, 5]$।
वर्गाकार कोष्ठक $[\;]$ बनाम कोष्ठक $(\;)$: एक वर्गाकार कोष्ठक का अर्थ है अंतबिंदु समाधान का भाग है ($\le$ या $\ge$); एक कोष्ठक का अर्थ है अंतबिंदु को छोड़ा गया है ($<$ या $>$)। अनंत हमेशा एक कोष्ठक का उपयोग करता है।
संघ $\cup$: दो अलग-अलग सेटों को एक समाधान में जोड़ता है। एक "बड़ा है" निरपेक्ष मान असमानता दो किरणों का एक संघ बनाता है, उदा. $(-\infty,-1)\cup(5,\infty)$।
संयोजन ("और") बनाम विभाजन ("या"): एक संयोजन को दोनों शर्तों को एक साथ रखने की आवश्यकता होती है और एक एकल बद्ध अंतराल प्राप्त होता है ("$<$" स्थिति)। एक विभाजन को केवल एक शर्त की आवश्यकता होती है और दो किरणों का एक संघ प्राप्त होता है ("$>$" स्थिति)।
गुणांक $a$, $b$, $c$: $|ax+b| \;\square\; c$ में: $a$ बार के अंदर $x$ को गुणा करने वाला गुणांक है, $b$ बार के अंदर जोड़ी गई स्थिरांक है, और $c$ दाहिनी ओर का मान है जिसके विरुद्ध निरपेक्ष मान की तुलना की जाती है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि $a$ ऋणात्मक हो तो क्या होगा? कैलकुलेटर इसे स्वतः संभाल लेता है — दोनों सीमा-मानों को सबसे छोटे से सबसे बड़े क्रम में लगाकर, ताकि अंतराल हमेशा सही ढंग से बताया जाए।

$|ax+b| < 0$ का कोई हल क्यों नहीं होता? निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए यह किसी ऋणात्मक संख्या से (या 0 से) कभी छोटा नहीं हो सकता।

∪ चिह्न का क्या अर्थ है? यह संघ (union) का चिह्न है, जो दर्शाता है कि उत्तर दो अलग-अलग अंतरालों को मिलाकर बना है, जैसा कि "से बड़ा" वाली असमिकाओं में होता है।

निरपेक्ष मान असमिका कैलकुलेटर

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