निरपेक्ष मान ग्राफ का शीर्ष क्या होता है?
निरपेक्ष मान फलन का ग्राफ V आकार का होता है (या उल्टे V आकार का)। वह एकमात्र बिंदु जहाँ दोनों सीधी किरणें मिलती हैं — वह नुकीला कोना जहाँ ग्राफ अपनी दिशा बदलता है — शीर्ष कहलाता है। सामान्य रूप \(y = a|bx + c| + d\) में लिखे फलन के लिए शीर्ष सबसे महत्वपूर्ण विशेषता है: यह ग्राफ के न्यूनतम या अधिकतम को निर्धारित करता है और सममिति अक्ष पर स्थित होता है। यह कैलकुलेटर शीर्ष \((h, k)\) के साथ-साथ सममिति अक्ष, खुलने की दिशा, किरणों की ढलान, चरम मान, परिसर और प्रांत ज्ञात करता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने समीकरण \(y = a|bx + c| + d\) से चारों गुणांक \(a\), \(b\), \(c\) और \(d\) दर्ज करें। कैलकुलेटर शीर्ष \((h, k)\), सममिति अक्ष \(x = h\), ग्राफ ऊपर की ओर खुलता है या नीचे की ओर, दोनों किरणों की ढलान, न्यूनतम या अधिकतम मान, तथा परिसर और प्रांत लौटाता है। \(a\) और \(b\) दोनों शून्येतर होने चाहिए; यदि कोई एक शून्य हो तो ग्राफ एक क्षैतिज रेखा में सिमट जाता है और उसका कोई शीर्ष नहीं होता।
सूत्र की व्याख्या
V ठीक वहीं मुड़ता है जहाँ निरपेक्ष मान की छड़ों के भीतर की राशि शून्य के बराबर होती है, क्योंकि \(|0| = 0\) वह सबसे छोटा मान है जो छड़ें उत्पन्न कर सकती हैं। भीतरी राशि को शून्य के बराबर रखने पर, \(bx + c = 0\), शीर्ष का x-निर्देशांक मिलता है:
$$h = -\frac{c}{b}, \qquad k = d$$y-निर्देशांक केवल \(d\) है, क्योंकि \(x = h\) पर छड़ें कुछ नहीं जोड़तीं और \(y = a \cdot 0 + d = d\)। सममिति अक्ष ऊर्ध्वाधर रेखा \(x = h\) है। शीर्ष से दूर, ग्राफ दो सीधी किरणों से बना होता है जिनकी ढलान दाईं ओर \(+a|b|\) और बाईं ओर \(-a|b|\) होती है, इसलिए दोनों किरणों का परिमाण \(|ab|\) है। यदि \(a > 0\) हो तो ग्राफ ऊपर की ओर खुलता है और \(k\) न्यूनतम होता है; यदि \(a < 0\) हो तो यह नीचे की ओर खुलता है और \(k\) अधिकतम होता है। प्रांत हमेशा सभी वास्तविक संख्याएँ होता है।
हल किया गया उदाहरण
\(y = 2|x - 3| + 1\) का शीर्ष ज्ञात करें। यहाँ \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -3\) और \(d = 1\)।
$$h = -\frac{c}{b} = -\frac{-3}{1} = 3, \qquad k = d = 1$$अतः शीर्ष \((3, 1)\) है और सममिति अक्ष \(x = 3\) है। चूँकि \(a = 2 > 0\), ग्राफ ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए \(k = 1\) न्यूनतम मान है और परिसर \(y \ge 1\) है। दोनों किरणों की ढलान \(+2\) और \(-2\) है, प्रत्येक का परिमाण \(2\) है। प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
निरपेक्ष मान फलन का शीर्ष कहाँ होता है? यह वह कोना है जहाँ दोनों किरणें मिलती हैं। \(y = a|bx + c| + d\) के लिए शीर्ष \(\left(-\frac{c}{b},\, d\right)\) होता है — x-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए छड़ों के भीतर की राशि को शून्य के बराबर रखें, और y-निर्देशांक के लिए \(d\) पढ़ें।
मैं सममिति अक्ष कैसे ज्ञात करूँ? सममिति अक्ष शीर्ष से होकर जाने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा \(x = -\frac{c}{b}\) है। इस रेखा के दोनों ओर ग्राफ दर्पण-प्रतिबिंब जैसा होता है।
क्या गुणांक a शीर्ष को हिलाता है? नहीं। \(a\) का मान केवल यह बदलता है कि V कितनी तीव्र है और वह ऊपर की ओर खुलती है या नीचे की ओर; शीर्ष \(\left(-\frac{c}{b},\, d\right)\) पर ही रहता है। \(a\) का चिह्न तय करता है कि \(a > 0\) होने पर \(k\) न्यूनतम है या \(a < 0\) होने पर अधिकतम।
