絕對值函數圖形的頂點是什麼？
絕對值函數的圖形呈 V 形（或倒 V 形）。兩條直射線相交的唯一點——圖形改變方向的尖角——稱為頂點。對於寫成一般形式 \(y = a|bx + c| + d\) 的函數，頂點是最重要的特徵：它標出圖形的最小值或最大值，並位於對稱軸上。本計算器可求出頂點 \((h, k)\)，以及對稱軸、開口方向、射線斜率、極值、值域與定義域。
如何使用本計算器
從方程式 \(y = a|bx + c| + d\) 中輸入四個係數 \(a\)、\(b\)、\(c\) 與 \(d\)。計算器會傳回頂點 \((h, k)\)、對稱軸 \(x = h\)、圖形開口向上還是向下、兩條射線的斜率、最小值或最大值，以及值域與定義域。\(a\) 與 \(b\) 都必須非零；若其中任一個為零，圖形就會退化為一條水平線，沒有頂點。
公式解析
V 形恰好在絕對值符號內的算式等於零處轉折，因為 \(|0| = 0\) 是絕對值符號所能產生的最小值。令內部為零，即 \(bx + c = 0\)，即可得到頂點的橫座標：
$$h = -\frac{c}{b}, \qquad k = d$$縱座標就是 \(d\)，因為在 \(x = h\) 處絕對值符號不產生任何貢獻，\(y = a \cdot 0 + d = d\)。對稱軸是鉛直線 \(x = h\)。遠離頂點時，圖形由兩條直射線組成，右側斜率為 \(+a|b|\)，左側斜率為 \(-a|b|\)，因此兩條射線的大小都是 \(|ab|\)。若 \(a > 0\)，圖形開口向上，\(k\) 為最小值；若 \(a < 0\)，圖形開口向下，\(k\) 為最大值。定義域始終是全體實數。
例題解析
求 \(y = 2|x - 3| + 1\) 的頂點。這裡 \(a = 2\)、\(b = 1\)、\(c = -3\)、\(d = 1\)。
$$h = -\frac{c}{b} = -\frac{-3}{1} = 3, \qquad k = d = 1$$因此頂點是 \((3, 1)\)，對稱軸是 \(x = 3\)。由於 \(a = 2 > 0\)，圖形開口向上，所以 \(k = 1\) 是最小值，值域為 \(y \ge 1\)。兩條射線的斜率分別為 \(+2\) 與 \(-2\)，大小均為 \(2\)。定義域是全體實數。
常見問題
絕對值函數的頂點在哪裡？ 它是兩條射線相交的尖角。對於 \(y = a|bx + c| + d\)，頂點是 \(\left(-\frac{c}{b},\, d\right)\)——令絕對值符號內部為零可求出橫座標，讀取 \(d\) 即為縱座標。
如何求對稱軸？ 對稱軸是通過頂點的鉛直線 \(x = -\frac{c}{b}\)。圖形在這條直線兩側互為鏡像。
係數 a 會移動頂點嗎？ 不會。\(a\) 的值只改變 V 形的陡峭程度以及開口向上還是向下；頂點仍在 \(\left(-\frac{c}{b},\, d\right)\)。\(a\) 的符號決定 \(k\) 是最小值（當 \(a > 0\)）還是最大值（當 \(a < 0\)）。
