절댓값 그래프의 꼭짓점이란?
절댓값 함수의 그래프는 V자 모양(또는 뒤집힌 V자 모양)입니다. 두 직선 반직선이 만나는 유일한 점, 즉 그래프가 방향을 바꾸는 뾰족한 모서리를 꼭짓점이라고 합니다. 일반형 \(y = a|bx + c| + d\)로 쓴 함수에서 꼭짓점은 가장 중요한 특징입니다. 꼭짓점은 그래프의 최솟값 또는 최댓값 위치를 나타내며 대칭축 위에 있습니다. 이 계산기는 꼭짓점 \((h, k)\)와 함께 대칭축, 열리는 방향, 반직선의 기울기, 극값, 치역, 정의역을 구합니다.
이 계산기 사용법
방정식 \(y = a|bx + c| + d\)에서 네 계수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)를 입력하세요. 계산기는 꼭짓점 \((h, k)\), 대칭축 \(x = h\), 그래프가 위로 열리는지 아래로 열리는지, 두 반직선의 기울기, 최솟값 또는 최댓값, 그리고 치역과 정의역을 반환합니다. \(a\)와 \(b\)는 모두 0이 아니어야 합니다. 둘 중 하나라도 0이면 그래프는 수평선으로 축소되어 꼭짓점이 없습니다.
공식 설명
V자는 절댓값 기호 안의 값이 0이 되는 바로 그 지점에서 방향을 바꿉니다. \(|0| = 0\)이 절댓값 기호가 만들어낼 수 있는 가장 작은 값이기 때문입니다. 안쪽 식을 0으로 놓으면 \(bx + c = 0\)이 되어 꼭짓점의 x좌표를 얻습니다:
$$h = -\frac{c}{b}, \qquad k = d$$y좌표는 단순히 \(d\)입니다. \(x = h\)에서는 절댓값 기호가 아무것도 기여하지 않아 \(y = a \cdot 0 + d = d\)가 되기 때문입니다. 대칭축은 수직선 \(x = h\)입니다. 꼭짓점에서 멀어지면 그래프는 두 직선 반직선으로 이루어지며, 그 기울기는 오른쪽이 \(+a|b|\), 왼쪽이 \(-a|b|\)로, 두 반직선 모두 크기가 \(|ab|\)입니다. \(a > 0\)이면 그래프는 위로 열리고 \(k\)는 최솟값이며, \(a < 0\)이면 아래로 열리고 \(k\)는 최댓값입니다. 정의역은 항상 모든 실수입니다.
풀이 예제
\(y = 2|x - 3| + 1\)의 꼭짓점을 구합니다. 여기서 \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -3\), \(d = 1\)입니다.
$$h = -\frac{c}{b} = -\frac{-3}{1} = 3, \qquad k = d = 1$$따라서 꼭짓점은 \((3, 1)\)이고 대칭축은 \(x = 3\)입니다. \(a = 2 > 0\)이므로 그래프는 위로 열리고, \(k = 1\)이 최솟값이며 치역은 \(y \ge 1\)입니다. 두 반직선의 기울기는 \(+2\)와 \(-2\)로, 각각 크기가 \(2\)입니다. 정의역은 모든 실수입니다.
자주 묻는 질문
절댓값 함수의 꼭짓점은 어디에 있나요? 두 반직선이 만나는 모서리입니다. \(y = a|bx + c| + d\)에서 꼭짓점은 \(\left(-\frac{c}{b},\, d\right)\)입니다. 절댓값 기호 안쪽을 0으로 놓아 x좌표를 구하고, y좌표로는 \(d\)를 읽습니다.
대칭축은 어떻게 구하나요? 대칭축은 꼭짓점을 지나는 수직선 \(x = -\frac{c}{b}\)입니다. 그래프는 이 직선을 기준으로 양쪽이 거울상으로 대칭입니다.
계수 a가 꼭짓점을 이동시키나요? 아니요. \(a\)의 값은 V자가 얼마나 가파른지와 위로 열리는지 아래로 열리는지만 바꿀 뿐, 꼭짓점은 \(\left(-\frac{c}{b},\, d\right)\)에 그대로 있습니다. \(a\)의 부호는 \(a > 0\)일 때 \(k\)가 최솟값인지, \(a < 0\)일 때 최댓값인지를 결정합니다.
