Qu'est-ce que le sommet d'un graphe de valeur absolue ?
Le graphe d'une fonction valeur absolue a la forme d'un V (ou d'un V renversé). L'unique point où les deux demi-droites se rejoignent — le coin anguleux où le graphe change de direction — s'appelle le sommet. Pour une fonction écrite sous la forme générale \(y = a|bx + c| + d\), le sommet est la caractéristique la plus importante : il situe le minimum ou le maximum du graphe et se trouve sur l'axe de symétrie. Ce calculateur détermine le sommet \((h, k)\) ainsi que l'axe de symétrie, le sens d'ouverture, les pentes des demi-droites, la valeur extrême, l'ensemble image et l'ensemble de définition.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les quatre coefficients \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) de votre équation \(y = a|bx + c| + d\). Le calculateur renvoie le sommet \((h, k)\), l'axe de symétrie \(x = h\), le sens d'ouverture (vers le haut ou vers le bas), les pentes des deux demi-droites, la valeur minimale ou maximale, ainsi que l'ensemble image et l'ensemble de définition. \(a\) et \(b\) doivent tous deux être non nuls ; si l'un des deux est nul, le graphe se réduit à une droite horizontale et n'a pas de sommet.
La formule expliquée
Le V change de direction exactement là où la quantité située à l'intérieur des barres de valeur absolue est nulle, car \(|0| = 0\) est la plus petite valeur que les barres peuvent produire. En annulant l'intérieur, \(bx + c = 0\), on obtient l'abscisse du sommet :
$$h = -\frac{c}{b}, \qquad k = d$$L'ordonnée vaut simplement \(d\), car en \(x = h\) les barres n'apportent rien et \(y = a \cdot 0 + d = d\). L'axe de symétrie est la droite verticale \(x = h\). Loin du sommet, le graphe est constitué de deux demi-droites dont les pentes sont \(+a|b|\) à droite et \(-a|b|\) à gauche ; les deux demi-droites ont donc pour valeur absolue \(|ab|\). Si \(a > 0\), le graphe s'ouvre vers le haut et \(k\) est un minimum ; si \(a < 0\), il s'ouvre vers le bas et \(k\) est un maximum. L'ensemble de définition est toujours l'ensemble des nombres réels.
Exemple résolu
Trouvez le sommet de \(y = 2|x - 3| + 1\). Ici \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -3\) et \(d = 1\).
$$h = -\frac{c}{b} = -\frac{-3}{1} = 3, \qquad k = d = 1$$Le sommet est donc \((3, 1)\) et l'axe de symétrie est \(x = 3\). Comme \(a = 2 > 0\), le graphe s'ouvre vers le haut, donc \(k = 1\) est la valeur minimale et l'ensemble image est \(y \ge 1\). Les deux demi-droites ont pour pentes \(+2\) et \(-2\), chacune de valeur absolue \(2\). L'ensemble de définition est l'ensemble des nombres réels.
FAQ
Où se trouve le sommet d'une fonction valeur absolue ? C'est le coin où les deux demi-droites se rejoignent. Pour \(y = a|bx + c| + d\), le sommet est \(\left(-\frac{c}{b},\, d\right)\) — annulez l'intérieur des barres pour trouver l'abscisse, et lisez \(d\) pour l'ordonnée.
Comment trouver l'axe de symétrie ? L'axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet, \(x = -\frac{c}{b}\). Le graphe est symétrique de part et d'autre de cette droite.
Le coefficient a déplace-t-il le sommet ? Non. La valeur de \(a\) ne change que l'inclinaison du V et son sens d'ouverture (haut ou bas) ; le sommet reste en \(\left(-\frac{c}{b},\, d\right)\). Le signe de \(a\) détermine si \(k\) est un minimum lorsque \(a > 0\) ou un maximum lorsque \(a < 0\).
