Mutlak Değer Grafiği Tepe Noktası (h, k)

Equation	y = 2\|x - 3\| + 1
Vertex x-coordinate (h)	3
Vertex y-coordinate (k)	1
Axis of symmetry	x = 3
Opening direction	Upward (opens up)
Right ray slope	2
Left ray slope	-2
Slope magnitude \|a·b\|	2
Extremum type	Minimum
Extremum value (k)	1
Range	y ≥ 1
Domain	All real numbers

Mutlak Değer Grafiğinin Tepe Noktası Nedir?

Bir mutlak değer fonksiyonunun grafiği V şeklindedir (veya ters V). İki doğrusal ışının buluştuğu tek nokta — grafiğin yön değiştirdiği keskin köşe — tepe noktası olarak adlandırılır. $y = a|bx + c| + d$ genel biçiminde yazılan bir fonksiyon için tepe noktası en önemli özelliktir: grafiğin minimumunu veya maksimumunu belirler ve simetri ekseni üzerinde yer alır. Bu hesaplayıcı, tepe noktasını $(h, k)$ ile birlikte simetri eksenini, açılış yönünü, ışın eğimlerini, uç değeri, değer aralığını ve tanım kümesini bulur.

Bu Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?

$y = a|bx + c| + d$ denkleminizden dört katsayıyı — $a$, $b$, $c$ ve $d$ — girin. Hesaplayıcı tepe noktasını $(h, k)$, simetri eksenini $x = h$, grafiğin yukarı mı yoksa aşağı mı açıldığını, iki ışının eğimlerini, minimum veya maksimum değeri ve değer aralığı ile tanım kümesini döndürür. Hem $a$ hem de $b$ sıfırdan farklı olmalıdır; herhangi biri sıfırsa grafik yatay bir doğruya dönüşür ve tepe noktası olmaz.

Formülün Açıklaması

V, mutlak değer çubuklarının içindeki ifade tam olarak sıfıra eşit olduğu yerde döner; çünkü $|0| = 0$, çubukların üretebileceği en küçük değerdir. İçini sıfıra eşitlemek, $bx + c = 0$, tepe noktasının x koordinatını verir:

$$h = -\frac{c}{b}, \qquad k = d$$

y koordinatı ise basitçe $d$'dir; çünkü $x = h$ noktasında çubuklar hiçbir katkı sağlamaz ve $y = a \cdot 0 + d = d$ olur. Simetri ekseni, $x = h$ düşey doğrusudur. Tepe noktasından uzakta grafik, sağda $+a|b|$ ve solda $-a|b|$ eğimlerine sahip iki doğrusal ışından oluşur; dolayısıyla her iki ışının büyüklüğü $|ab|$'dir. $a > 0$ ise grafik yukarı doğru açılır ve $k$ bir minimumdur; $a < 0$ ise aşağı doğru açılır ve $k$ bir maksimumdur. Tanım kümesi her zaman tüm gerçek sayılardır.

Reklam

Çözümlü Örnek

$y = 2|x - 3| + 1$ fonksiyonunun tepe noktasını bulun. Burada $a = 2$, $b = 1$, $c = -3$ ve $d = 1$.

$$h = -\frac{c}{b} = -\frac{-3}{1} = 3, \qquad k = d = 1$$

Yani tepe noktası $(3, 1)$ ve simetri ekseni $x = 3$'tür. $a = 2 > 0$ olduğundan grafik yukarı doğru açılır, dolayısıyla $k = 1$ minimum değerdir ve değer aralığı $y \ge 1$ olur. İki ışının eğimleri $+2$ ve $-2$'dir; her birinin büyüklüğü $2$'dir. Tanım kümesi tüm gerçek sayılardır.

SSS

Mutlak değer fonksiyonunun tepe noktası nerededir? İki ışının buluştuğu köşedir. $y = a|bx + c| + d$ için tepe noktası $\left(-\frac{c}{b},\, d\right)$'dir — x koordinatını bulmak için çubukların içini sıfıra eşitleyin ve y koordinatı için $d$'yi okuyun.

Simetri eksenini nasıl bulurum? Simetri ekseni, tepe noktasından geçen düşey doğrudur, $x = -\frac{c}{b}$. Grafik bu doğrunun her iki yanında ayna görüntüsüdür.

a katsayısı tepe noktasını hareket ettirir mi? Hayır. $a$ değeri yalnızca V'nin ne kadar dik olduğunu ve yukarı mı yoksa aşağı mı açıldığını değiştirir; tepe noktası $\left(-\frac{c}{b},\, d\right)$'de kalır. $a$'nın işareti, $a > 0$ iken $k$'nin minimum mu yoksa $a < 0$ iken maksimum mu olduğuna karar verir.