絶対値グラフの頂点とは？
絶対値関数のグラフはV字形（または逆V字形）です。2本の直線状の半直線が出会う唯一の点、つまりグラフが向きを変える鋭い角を頂点と呼びます。一般形 \(y = a|bx + c| + d\) で書かれた関数において、頂点は最も重要な特徴です。頂点はグラフの最小値または最大値の位置を示し、対称軸上にあります。この計算機は頂点 \((h, k)\) に加えて、対称軸、開く向き、半直線の傾き、極値、値域、定義域を求めます。
この計算機の使い方
方程式 \(y = a|bx + c| + d\) から4つの係数 \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\) を入力します。計算機は頂点 \((h, k)\)、対称軸 \(x = h\)、グラフが上に開くか下に開くか、2本の半直線の傾き、最小値または最大値、そして値域と定義域を返します。\(a\) と \(b\) はどちらも0以外でなければなりません。いずれかが0の場合、グラフは水平な直線に退化し、頂点をもちません。
公式の解説
V字は、絶対値の記号の中の量が0に等しくなるちょうどその位置で向きを変えます。なぜなら \(|0| = 0\) が絶対値の記号が生み出せる最小の値だからです。中身を0とおくと、\(bx + c = 0\) となり、頂点のx座標が得られます：
$$h = -\frac{c}{b}, \qquad k = d$$y座標は単に \(d\) です。なぜなら \(x = h\) では絶対値の記号は何も寄与せず、\(y = a \cdot 0 + d = d\) となるからです。対称軸は垂直な直線 \(x = h\) です。頂点から離れると、グラフは2本の直線状の半直線からなり、その傾きは右側が \(+a|b|\)、左側が \(-a|b|\) で、どちらの半直線も大きさ \(|ab|\) をもちます。\(a > 0\) ならグラフは上に開き \(k\) が最小値となり、\(a < 0\) なら下に開き \(k\) が最大値となります。定義域は常にすべての実数です。
計算例
\(y = 2|x - 3| + 1\) の頂点を求めます。ここで \(a = 2\)、\(b = 1\)、\(c = -3\)、\(d = 1\) です。
$$h = -\frac{c}{b} = -\frac{-3}{1} = 3, \qquad k = d = 1$$よって頂点は \((3, 1)\)、対称軸は \(x = 3\) です。\(a = 2 > 0\) なのでグラフは上に開き、\(k = 1\) が最小値、値域は \(y \ge 1\) です。2本の半直線の傾きは \(+2\) と \(-2\) で、それぞれ大きさは \(2\) です。定義域はすべての実数です。
よくある質問
絶対値関数の頂点はどこにありますか？ 2本の半直線が出会う角です。\(y = a|bx + c| + d\) では頂点は \(\left(-\frac{c}{b},\, d\right)\) です。絶対値の記号の中身を0とおいてx座標を求め、y座標には \(d\) を読み取ります。
対称軸はどのように求めますか？ 対称軸は頂点を通る垂直な直線 \(x = -\frac{c}{b}\) です。グラフはこの直線を挟んで左右対称（鏡像）になります。
係数aは頂点を動かしますか？ いいえ。\(a\) の値はV字の傾き具合と、上に開くか下に開くかを変えるだけで、頂点は \(\left(-\frac{c}{b},\, d\right)\) のままです。\(a\) の符号は、\(a > 0\) のとき \(k\) が最小値か、\(a < 0\) のとき最大値かを決めます。
