ما هو رأس منحنى القيمة المطلقة؟
يكون منحنى دالة القيمة المطلقة على شكل حرف V (أو حرف V مقلوب). النقطة الوحيدة التي يلتقي عندها الشعاعان المستقيمان — الزاوية الحادة التي يغيّر عندها المنحنى اتجاهه — تُسمى الرأس. بالنسبة لدالة مكتوبة على الصورة العامة \(y = a|bx + c| + d\)، يكون الرأس أهم خاصية: فهو يحدّد موضع القيمة الصغرى أو العظمى للمنحنى ويقع على محور التماثل. تحسب هذه الأداة الرأس \((h, k)\) إلى جانب محور التماثل واتجاه الفتحة وميول الشعاعين والقيمة القصوى والمدى والمجال.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل المعاملات الأربعة \(a\) و\(b\) و\(c\) و\(d\) من معادلتك \(y = a|bx + c| + d\). تُرجع الحاسبة الرأس \((h, k)\)، ومحور التماثل \(x = h\)، وما إذا كان المنحنى يفتح لأعلى أم لأسفل، وميول الشعاعين، والقيمة الصغرى أو العظمى، والمدى والمجال. يجب أن يكون كل من \(a\) و\(b\) مختلفًا عن الصفر؛ فإذا كان أيّهما صفرًا انهار المنحنى إلى خط أفقي ولم يكن له رأس.
شرح الصيغة
ينعطف حرف V تمامًا عند النقطة التي تساوي فيها الكمية داخل قضبان القيمة المطلقة صفرًا، لأن \(|0| = 0\) هي أصغر قيمة يمكن أن تنتجها القضبان. بجعل ما بداخلها يساوي صفرًا، \(bx + c = 0\)، نحصل على الإحداثي السيني للرأس:
$$h = -\frac{c}{b}, \qquad k = d$$أما الإحداثي الصادي فهو ببساطة \(d\)، لأنه عند \(x = h\) لا تسهم القضبان بشيء ويكون \(y = a \cdot 0 + d = d\). محور التماثل هو الخط الرأسي \(x = h\). بعيدًا عن الرأس يتكوّن المنحنى من شعاعين مستقيمين ميلهما \(+a|b|\) على اليمين و\(-a|b|\) على اليسار، وبذلك يكون مقدار كلا الشعاعين \(|ab|\). إذا كان \(a > 0\) فإن المنحنى يفتح لأعلى وتكون \(k\) قيمة صغرى؛ وإذا كان \(a < 0\) فإنه يفتح لأسفل وتكون \(k\) قيمة عظمى. المجال هو دائمًا جميع الأعداد الحقيقية.
مثال محلول
أوجد رأس \(y = 2|x - 3| + 1\). هنا \(a = 2\) و\(b = 1\) و\(c = -3\) و\(d = 1\).
$$h = -\frac{c}{b} = -\frac{-3}{1} = 3, \qquad k = d = 1$$إذن الرأس هو \((3, 1)\) ومحور التماثل هو \(x = 3\). وبما أن \(a = 2 > 0\)، يفتح المنحنى لأعلى، لذا فإن \(k = 1\) هي القيمة الصغرى ويكون المدى \(y \ge 1\). ميلا الشعاعين هما \(+2\) و\(-2\)، ومقدار كلٍّ منهما \(2\). المجال هو جميع الأعداد الحقيقية.
الأسئلة الشائعة
أين يقع رأس دالة القيمة المطلقة؟ إنه الزاوية التي يلتقي عندها الشعاعان. بالنسبة إلى \(y = a|bx + c| + d\) يكون الرأس \(\left(-\frac{c}{b},\, d\right)\) — اجعل ما بداخل القضبان يساوي صفرًا لإيجاد الإحداثي السيني، واقرأ \(d\) للإحداثي الصادي.
كيف أوجد محور التماثل؟ محور التماثل هو الخط الرأسي المار بالرأس، \(x = -\frac{c}{b}\). ويكون المنحنى صورة مرآتية على جانبي هذا الخط.
هل يحرّك المعامل a الرأس؟ لا. قيمة \(a\) تغيّر فقط مدى انحدار حرف V وما إذا كان يفتح لأعلى أم لأسفل؛ ويبقى الرأس عند \(\left(-\frac{c}{b},\, d\right)\). وإشارة \(a\) تحدّد ما إذا كانت \(k\) قيمة صغرى عندما \(a > 0\) أم قيمة عظمى عندما \(a < 0\).
