À quoi sert ce calculateur
Cet outil résout les inéquations à valeur absolue écrites sous la forme standard \(|ax + b|\) comparé à \(c\), où la comparaison peut être <, ≤, > ou ≥. Saisissez le coefficient \(a\), la constante intérieure \(b\), le type d'inéquation et la valeur \(c\) du membre de droite : le calculateur renvoie l'ensemble solution exact sous forme d'intervalle, accompagné de ses bornes.
Mode d'emploi
Choisissez vos valeurs de manière à ce que votre inéquation corresponde à \(|ax + b|\) ? \(c\). Par exemple, \(|2x - 4| \le 6\) signifie \(a = 2\), \(b = -4\), type « ≤ » et \(c = 6\). Validez le formulaire pour afficher l'intervalle solution. Les crochets [ ] indiquent que la borne est incluse (≤ ou ≥), tandis que les parenthèses ( ) indiquent qu'elle est exclue (< ou >).
La formule expliquée
Une valeur absolue mesure la distance à zéro : elle n'est donc jamais négative. Pour une inéquation « inférieur à », \(|ax+b| < c\) signifie que l'expression reste à une distance inférieure à \(c\) de zéro, ce qui donne l'inéquation encadrée $$-c < ax+b < c.$$ En isolant \(x\), on obtient un unique intervalle borné, compris entre \(\frac{-c-b}{a}\) et \(\frac{c-b}{a}\). Pour une inéquation « supérieur à », l'expression doit être à plus de \(c\) de zéro : elle se scinde alors en deux demi-droites : $$ax+b < -c \quad \text{OU} \quad ax+b > c,$$ ce qui produit une réunion de deux intervalles. Cas particuliers : si \(c\) est négatif, une forme « inférieur à » n'a aucune solution, tandis qu'une forme « supérieur à » est satisfaite par tous les réels.
Exemple résolu
Résolvons \(|2x - 4| \le 6\). Ici \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 6\). On réécrit : $$-6 \le 2x - 4 \le 6.$$ On ajoute 4 : $$-2 \le 2x \le 10.$$ On divise par 2 : $$-1 \le x \le 5.$$ L'ensemble solution est donc l'intervalle fermé \([-1, 5]\).
Termes et symboles clés
- Valeur absolue \(|u|\)
- La distance d'un nombre à zéro sur la droite numérique, toujours non‑négative. Par exemple \(|-3| = 3\) et \(|5| = 5\). Puisqu'il s'agit d'une distance, \(|u| \ge 0\) pour chaque valeur de \(u\).
- Point frontière
- Une valeur de \(x\) où l'expression de valeur absolue est exactement égale à \(c\) — le point de division entre la solution et la non‑solution. Ils sont trouvés en résolvant l'équation associée \(|ax+b| = c\).
- Intervalle ouvert
- Un intervalle qui ne comprend pas ses extrémités, utilisé pour les inégalités strictes (\(<, >\)). Écrit avec des parenthèses, par exemple \((-1, 5)\).
- Intervalle fermé
- Un intervalle qui comprend ses extrémités, utilisé pour les inégalités inclusives (\(\le, \ge\)). Écrit avec des crochets, par exemple \([-1, 5]\).
- Crochets \([\;]\) vs parenthèses \((\;)\)
- Un crochet carré signifie que l'extrémité fait partie de la solution (\(\le\) ou \(\ge\)) ; une parenthèse signifie que l'extrémité est exclue (\(<\) ou \(>\)). L'infini utilise toujours une parenthèse.
- Union \(\cup\)
- Combine deux ensembles séparés en une seule solution. Une inégalité de valeur absolue « plus grand que » produit une union de deux demi-droites, par exemple \((-\infty,-1)\cup(5,\infty)\).
- Conjonction (« et ») vs disjonction (« ou »)
- Une conjonction exige que les deux conditions soient satisfaites à la fois et produit un seul intervalle borné (le cas « \(<\) »). Une disjonction exige seulement qu'une condition soit satisfaite et produit une union de deux demi-droites (le cas « \(>\) »).
- Coefficients \(a\), \(b\), \(c\)
- Dans \(|ax+b| \;\square\; c\) : \(a\) est le coefficient multipliant \(x\) à l'intérieur des barres, \(b\) est la constante ajoutée à l'intérieur des barres, et \(c\) est la valeur du côté droit contre laquelle la valeur absolue est comparée.
FAQ
Que se passe-t-il si \(a\) est négatif ? Le calculateur gère ce cas automatiquement en ordonnant les deux bornes de la plus petite à la plus grande : l'intervalle est donc toujours indiqué correctement.
Pourquoi \(|ax+b| < 0\) n'a-t-il aucune solution ? Une valeur absolue n'est jamais négative : elle ne peut donc jamais être inférieure à un nombre négatif (ni inférieure à 0).
Que signifie le symbole \(\cup\) ? C'est le symbole de réunion : il indique que la réponse est constituée de deux intervalles distincts réunis, comme c'est le cas avec les inéquations « supérieur à ».
