절댓값 부등식 계산기

계산 입력

a (x의 계수)

b (내부 상수)

부등호 종류 |ax + b| < c |ax + b| ≤ c |ax + b| > c |ax + b| ≥ c

c (우변 값)

결과

해집합

(-2, 8)

부등식을 만족하는 x의 값

하한 경곗값	-2
상한 경곗값	8

이 계산기의 기능

이 도구는 \(|ax + b|\)를 \(c\)와 비교하는 표준형으로 표현된 절댓값 부등식을 풀어줍니다. 비교 기호는 <, ≤, >, ≥ 중에서 선택할 수 있습니다. 계수 \(a\), 내부 상수 \(b\), 부등호 종류, 그리고 우변 값 \(c\)를 입력하면, 계산기가 해집합을 정확한 구간과 경곗값으로 함께 알려줍니다.

사용 방법

풀고자 하는 부등식이 \(|ax + b| \,?\, c\) 형태가 되도록 값을 입력하세요. 예를 들어 \(|2x - 4| \le 6\)은 \(a = 2\), \(b = -4\), 부등호 "≤", \(c = 6\)에 해당합니다. 폼을 제출하면 해 구간이 표시됩니다. 대괄호 [ ]는 끝점이 포함됨(≤ 또는 ≥)을 의미하고, 소괄호 ( )는 끝점이 제외됨(< 또는 >)을 의미합니다.

공식 풀이

절댓값은 0으로부터의 거리를 나타내므로 절대 음수가 될 수 없습니다. "작다" 부등식의 경우 \(|ax+b| < c\)는 식이 0으로부터 거리 \(c\) 이내에 머문다는 뜻이며, 이는 연립부등식으로 바뀝니다.

$$|ax+b| < c \;\Longrightarrow\; -c < ax+b < c$$

이를 \(x\)에 대해 풀면 다음과 같은 유계 구간 하나가 나옵니다.

$$|ax+b| < c \;\Longleftrightarrow\; \frac{-c-b}{a} < x < \frac{c-b}{a}$$

반대로 "크다" 부등식에서는 식이 0으로부터 \(c\)보다 멀리 떨어져 있어야 하므로, 두 개의 반직선으로 나뉘어 두 구간의 합집합이 됩니다.

$$|ax+b| > c \;\Longleftrightarrow\; x < \frac{-c-b}{a}\ \text{or}\ x > \frac{c-b}{a}$$

특수한 경우도 있습니다. \(c\)가 음수일 때 "작다" 형태는 해가 없고, "크다" 형태는 모든 실수가 해가 됩니다.

\(|ax+b| > c\)일 때 해는 경계점에서 바깥쪽으로 뻗는 두 반직선입니다('또는' / 논리합의 경우).

\(|ax+b| < c\)일 때 해는 두 경계점 사이의 구간입니다('그리고' / 논리곱의 경우).

예제 풀이

\(|2x - 4| \le 6\)을 풀어봅시다. 여기서 \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 6\)입니다. 다시 쓰면:

$$-6 \le 2x - 4 \le 6$$

양변에 4를 더하면:

$$-2 \le 2x \le 10$$

양변을 2로 나누면:

$$-1 \le x \le 5$$

따라서 해집합은 닫힌구간 \([-1, 5]\)입니다.

핵심 용어 및 기호

절댓값 \(|u|\)

수직선 위에서 어떤 수가 0으로부터 떨어진 거리이며, 항상 음이 아닙니다. 예를 들어 \(|-3| = 3\) 이고 \(|5| = 5\) 입니다. 거리이기 때문에 모든 \(u\) 값에 대해 \(|u| \ge 0\) 입니다.

경계점

절댓값 식이 정확히 \(c\) 와 같아지는 \(x\) 의 값이며, 해와 비해 사이의 분기점입니다. 관련 방정식 \(|ax+b| = c\) 를 풀어서 구합니다.

열린 구간

끝점을 포함하지 않는 구간이며, 순부등호(\(<, >\))에 사용됩니다. 괄호로 표기하며, 예를 들어 \((-1, 5)\) 입니다.

닫힌 구간

끝점을 포함하는 구간이며, 포함 부등호(\(\le, \ge\))에 사용됩니다. 대괄호로 표기하며, 예를 들어 \([-1, 5]\) 입니다.

대괄호 \([\;]\) 와 괄호 \((\;)\)

정사각형 대괄호는 끝점이 해의 일부임을 의미하며(\(\le\) 또는 \(\ge\)), 괄호는 끝점이 제외됨을 의미합니다(\(<\) 또는 \(>\)). 무한대는 항상 괄호를 사용합니다.

합집합 \(\cup\)

두 개의 별개 집합을 하나의 해로 결합합니다. "보다 큼" 절댓값 부등호는 두 반직선의 합집합을 만들며, 예를 들어 \((-\infty,-1)\cup(5,\infty)\) 입니다.

결합("그리고") 대 분리("또는")

결합은 두 조건이 동시에 성립해야 하며 하나의 유계 구간을 만듭니다("\(<\)" 경우). 분리는 하나의 조건만 필요하며 두 반직선의 합집합을 만듭니다("\(>\)" 경우).

계수 \(a\), \(b\), \(c\)

\(|ax+b| \;\square\; c\) 에서: \(a\) 는 절댓값 안에서 \(x\) 에 곱해지는 계수이고, \(b\) 는 절댓값 안에서 더해지는 상수이며, \(c\) 는 절댓값이 비교되는 우변의 값입니다.

자주 묻는 질문

\(a\)가 음수이면 어떻게 되나요? 계산기가 두 경곗값을 작은 값부터 큰 값 순으로 자동 정렬하므로, 구간이 항상 올바르게 표시됩니다.

왜 \(|ax+b| < 0\)은 해가 없나요? 절댓값은 절대 음수가 될 수 없기 때문에, 음수(또는 0)보다 작아질 수 없습니다.

∪ 기호는 무슨 뜻인가요? 합집합 기호로, "크다" 부등식에서처럼 답이 서로 떨어진 두 구간이 합쳐져 이루어졌음을 나타냅니다.