절댓값 부등식 계산기

하한 경곗값	-2
상한 경곗값	8

이 계산기의 기능

이 도구는 $|ax + b|$를 $c$와 비교하는 표준형으로 표현된 절댓값 부등식을 풀어줍니다. 비교 기호는 <, ≤, >, ≥ 중에서 선택할 수 있습니다. 계수 $a$, 내부 상수 $b$, 부등호 종류, 그리고 우변 값 $c$를 입력하면, 계산기가 해집합을 정확한 구간과 경곗값으로 함께 알려줍니다.

사용 방법

풀고자 하는 부등식이 $|ax + b| \,?\, c$ 형태가 되도록 값을 입력하세요. 예를 들어 $|2x - 4| \le 6$은 $a = 2$, $b = -4$, 부등호 "≤", $c = 6$에 해당합니다. 폼을 제출하면 해 구간이 표시됩니다. 대괄호 [ ]는 끝점이 포함됨(≤ 또는 ≥)을 의미하고, 소괄호 ( )는 끝점이 제외됨(< 또는 >)을 의미합니다.

공식 풀이

절댓값은 0으로부터의 거리를 나타내므로 절대 음수가 될 수 없습니다. "작다" 부등식의 경우 $|ax+b| < c$는 식이 0으로부터 거리 $c$ 이내에 머문다는 뜻이며, 이는 연립부등식으로 바뀝니다.

$$|ax+b| < c \;\Longrightarrow\; -c < ax+b < c$$

이를 $x$에 대해 풀면 다음과 같은 유계 구간 하나가 나옵니다.

$$|ax+b| < c \;\Longleftrightarrow\; \frac{-c-b}{a} < x < \frac{c-b}{a}$$

반대로 "크다" 부등식에서는 식이 0으로부터 $c$보다 멀리 떨어져 있어야 하므로, 두 개의 반직선으로 나뉘어 두 구간의 합집합이 됩니다.

$$|ax+b| > c \;\Longleftrightarrow\; x < \frac{-c-b}{a}\ \text{or}\ x > \frac{c-b}{a}$$

특수한 경우도 있습니다. $c$가 음수일 때 "작다" 형태는 해가 없고, "크다" 형태는 모든 실수가 해가 됩니다.

초과 절댓값 부등식에서 바깥쪽으로 뻗는 두 반직선을 보여주는 수직선 — $|ax+b| > c$일 때 해는 경계점에서 바깥쪽으로 뻗는 두 반직선입니다('또는' / 논리합의 경우).

미만 절댓값 부등식에서 -c와 c 사이의 해 구간을 보여주는 수직선 — $|ax+b| < c$일 때 해는 두 경계점 사이의 구간입니다('그리고' / 논리곱의 경우).

예제 풀이

$|2x - 4| \le 6$을 풀어봅시다. 여기서 $a = 2$, $b = -4$, $c = 6$입니다. 다시 쓰면:

$$-6 \le 2x - 4 \le 6$$

양변에 4를 더하면:

$$-2 \le 2x \le 10$$

양변을 2로 나누면:

$$-1 \le x \le 5$$

따라서 해집합은 닫힌구간 $[-1, 5]$입니다.

핵심 용어 및 기호

절댓값 $|u|$: 수직선 위에서 어떤 수가 0으로부터 떨어진 거리이며, 항상 음이 아닙니다. 예를 들어 $|-3| = 3$ 이고 $|5| = 5$ 입니다. 거리이기 때문에 모든 $u$ 값에 대해 $|u| \ge 0$ 입니다.
경계점: 절댓값 식이 정확히 $c$ 와 같아지는 $x$ 의 값이며, 해와 비해 사이의 분기점입니다. 관련 방정식 $|ax+b| = c$ 를 풀어서 구합니다.
열린 구간: 끝점을 포함하지 않는 구간이며, 순부등호($<, >$)에 사용됩니다. 괄호로 표기하며, 예를 들어 $(-1, 5)$ 입니다.
닫힌 구간: 끝점을 포함하는 구간이며, 포함 부등호($\le, \ge$)에 사용됩니다. 대괄호로 표기하며, 예를 들어 $[-1, 5]$ 입니다.
대괄호 $[\;]$ 와 괄호 $(\;)$: 정사각형 대괄호는 끝점이 해의 일부임을 의미하며($\le$ 또는 $\ge$), 괄호는 끝점이 제외됨을 의미합니다($<$ 또는 $>$). 무한대는 항상 괄호를 사용합니다.
합집합 $\cup$: 두 개의 별개 집합을 하나의 해로 결합합니다. "보다 큼" 절댓값 부등호는 두 반직선의 합집합을 만들며, 예를 들어 $(-\infty,-1)\cup(5,\infty)$ 입니다.
결합("그리고") 대 분리("또는"): 결합은 두 조건이 동시에 성립해야 하며 하나의 유계 구간을 만듭니다("$<$" 경우). 분리는 하나의 조건만 필요하며 두 반직선의 합집합을 만듭니다("$>$" 경우).
계수 $a$, $b$, $c$: $|ax+b| \;\square\; c$ 에서: $a$ 는 절댓값 안에서 $x$ 에 곱해지는 계수이고, $b$ 는 절댓값 안에서 더해지는 상수이며, $c$ 는 절댓값이 비교되는 우변의 값입니다.