這個計算器能做什麼
這個工具專門用來求解標準形式的絕對值不等式，也就是 \(|ax + b|\) 與 \(c\) 比較大小，其中比較符號可以是 \(<\)、\(\le\)、\(>\) 或 \(\ge\)。只要輸入係數 \(a\)、絕對值內的常數 \(b\)、不等式類型，以及右邊的數值 \(c\)，計算器就會以區間形式回傳精確的解集合，並一併標示出邊界點。
使用方法
先把你的不等式對照成 \(|ax + b| \;?\; c\) 的格式，再填入對應的數值。舉例來說，\(|2x - 4| \le 6\) 就代表 \(a = 2\)、\(b = -4\)、類型選「\(\le\)」、\(c = 6\)。送出表單後即可看到解的區間。中括號 [ ] 表示端點包含在內（對應 \(\le\) 或 \(\ge\)），小括號 ( ) 則表示端點不包含（對應 \(<\) 或 \(>\)）。
公式原理說明
絕對值衡量的是某個數與 0 之間的距離，所以它永遠不會是負數。對於「小於」型的不等式，\(|ax+b| < c\) 表示這個式子與 0 的距離不超過 \(c\)，因此可以改寫成複合不等式 $$-c < ax+b < c$$ 對 \(x\) 求解後，會得到一個介於 \(\frac{-c-b}{a}\) 與 \(\frac{c-b}{a}\) 之間的有界區間。$$|ax+b| < c \;\Longleftrightarrow\; \frac{-c-b}{a} < x < \frac{c-b}{a}$$ 至於「大於」型的不等式，式子與 0 的距離必須超過 \(c\)，因此會拆成兩道射線：\(ax+b < -c\) 或 \(ax+b > c\)，得到兩個區間的聯集。$$|ax+b| > c \;\Longleftrightarrow\; x < \tfrac{-c-b}{a}\ \text{or}\ x > \tfrac{c-b}{a}$$ 特殊情況：當 \(c\) 為負數時，「小於」型不等式無解，而「大於」型不等式則對所有實數都成立。
範例演算
求解 \(|2x - 4| \le 6\)。這裡 \(a = 2\)、\(b = -4\)、\(c = 6\)。先改寫成：$$-6 \le 2x - 4 \le 6$$ 兩邊同時加 4：$$-2 \le 2x \le 10$$ 兩邊同時除以 2：$$-1 \le x \le 5$$ 因此解集合就是閉區間 \([-1, 5]\)。
關鍵術語與符號
- 絕對值 \(|u|\)
- 一個數字距離數線上零點的距離，始終為非負數。例如 \(|-3| = 3\) 且 \(|5| = 5\)。因為它是一個距離，\(|u| \ge 0\) 對每個 \(u\) 的值都成立。
- 邊界點
- \(x\) 的值，其中絕對值表達式恰好等於 \(c\) — 是解與非解之間的分界點。通過求解相關方程 \(|ax+b| = c\) 找到。
- 開區間
- 一個不包括其端點的區間，用於嚴格不等式（\(<, >\)）。用圓括號表示，例如 \((-1, 5)\)。
- 閉區間
- 一個包括其端點的區間，用於非嚴格不等式（\(\le, \ge\)）。用方括號表示，例如 \([-1, 5]\)。
- 方括號 \([\;]\) 與圓括號 \((\;)\)
- 方括號表示端點是解的一部分（\(\le\) 或 \(\ge\)）；圓括號表示端點被排除（\(<\) 或 \(>\)）。無窮大始終使用圓括號。
- 並集 \(\cup\)
- 將兩個分別的集合合併成一個解。一個「大於」絕對值不等式產生兩條射線的並集，例如 \((-\infty,-1)\cup(5,\infty)\)。
- 合取（「且」）與析取（「或」）
- 一個合取要求兩個條件同時成立，並產生單一有界區間（「\(<\)」情況）。一個析取只需要一個條件成立，並產生兩條射線的並集（「\(>\)」情況）。
- 係數 \(a\)、\(b\)、\(c\)
- 在 \(|ax+b| \;\square\; c\) 中：\(a\) 是在絕對值內乘以 \(x\) 的係數，\(b\) 是在絕對值內加上的常數，\(c\) 是右側的值，絕對值與其比較。
常見問題
如果 \(a\) 是負數怎麼辦？計算器會自動處理，把兩個邊界值由小到大排序，所以回報的區間一定是正確的。
為什麼 \(|ax+b| < 0\) 無解？絕對值永遠不會是負數，所以它不可能小於一個負數（也不可能小於 0）。
\(\cup\) 這個符號代表什麼？它是聯集符號，表示答案是由兩個分開的區間合併而成，這正是大於型不等式會出現的情況。
