什麼是方框法？
方框法又稱為「區域模型」或「格子乘法」，是一種把多位數相乘視覺化的方法。它不像直式乘法那樣需要一連串的進位，而是先把每個數字依照位值拆開（個位、十位等），分別寫在長方形的兩邊，再把每一對相乘填入格子，最後把所有部分乘積加起來。這個做法其實對應了代數中的展開公式 \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\)。
如何使用這個計算器
輸入你想相乘的兩個整數，計算器就會回傳乘積，同時列出部分乘積的總和，以及這個方法所建立的格子大小。格子大小代表會出現幾個部分乘積：例如「兩位數 × 兩位數」會建立一個 \(2\times 2\) 的方框，產生四個部分乘積。
公式拆解
$$\text{First number} \times \text{Second number} = \sum_{i} \sum_{j} a_i \cdot b_j$$ 先把每個因數依位值拆開。以 \(23 \times 47\) 為例，可寫成 \(23 = 20 + 3\)、\(47 = 40 + 7\)。四個格子分別是 \(20\times 40 = 800\)、\(20\times 7 = 140\)、\(3\times 40 = 120\)、\(3\times 7 = 21\)。把它們相加：\(800 + 140 + 120 + 21 = 1{,}081\)，正好等於 \(23 \times 47\)。
實際範例
計算 \(12 \times 13\)。拆成 \(10 + 2\) 與 \(10 + 3\)。各格子為：\(10\times 10 = 100\)、\(10\times 3 = 30\)、\(2\times 10 = 20\)、\(2\times 3 = 6\)。加總 \(= 100 + 30 + 20 + 6 = 156\)，所以 \(12 \times 13 = 156\)。
如何手工進行盒子法
盒子法（也稱為面積模型）將兩個數字各分解成位值部分，在網格中將每一對部分相乘，然後將結果相加來計算兩個數字的乘積。它使分配律變得直觀可見。以下是完整的步驟，用 \(34 \times 26\) 來演示。
- 按位值分解每個數字。將每個因數分解為十位、個位等。這裡 \(34 = 30 + 4\) 和 \(26 = 20 + 6\)。
- 繪製網格。對於兩個兩位數，您需要一個 \(2\times2\) 的網格。在頂部寫出第一個數字的部分（\(30\) 和 \(4\)），在側面寫出第二個數字的部分（\(20\) 和 \(6\)）。
- 將每一行列對相乘。用列標題與行標題的乘積填充每個盒子：
- \(30 \times 20 = 600\)
- \(4 \times 20 = 80\)
- \(30 \times 6 = 180\)
- \(4 \times 6 = 24\)
- 寫出每個部分乘積。完成的網格包含四個部分乘積：
| \(\times\) | 30 | 4 |
|---|---|---|
| 20 | 600 | 80 |
| 6 | 180 | 24 |
- 將所有盒子相加。對所有部分乘積求和得到最終答案：\(600 + 80 + 180 + 24 = \) 884。
因此 \(34 \times 26 = 884\)。這正好是分配展開式 \((30+4)(20+6) = 30\cdot20 + 30\cdot6 + 4\cdot20 + 4\cdot6\)。如果使用 FOIL 展開 \((a+b)(c+d)\)，將出現相同的四個部分乘積，當部分為這些位值時，得到 884。
關鍵術語
- 盒子/面積模型
- 一種視覺化乘法策略，其中每個因數被分解為位值部分，這些部分在矩形網格（盒子）中相乘。每個盒子的面積代表一個部分乘積，總面積等於乘積。
- 網格法
- 盒子法的另一個常見名稱，強調用於組織部分乘積的矩形網格。
- 位值分解
- 將一個數字改寫為其各數字值的和，例如 \(347 = 300 + 40 + 7\)。每個部分成為網格頂部或側面的標題。
- 部分乘積
- 將第一個數字的一部分乘以第二個數字的一部分的結果，例如 \(30 \times 20 = 600\)。網格中的每個盒子包含一個部分乘積，最終答案是它們的和。
- 因數
- 被相乘的數字。在 \(34 \times 26 = 884\) 中，\(34\) 和 \(26\) 都是因數，\(884\) 是乘積。
- 分配律 \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\)
- 證明盒子法合理性的代數規則：兩個和的乘積等於其部分所有配對乘積的和。四個項 \(ac, ad, bc, bd\) 中的每一個都對應於 \(2\times2\) 網格中的一個盒子。
常見問題
任何大小的數字都適用嗎？是的。位數越多，格子就越多；不論多少格，所有部分乘積的總和永遠等於最終乘積。
為什麼要教這個方法，而不是直接用直式乘法？方框法讓位值的概念變得一目了然，並且和多項式相乘的觀念直接相通，能為日後學習代數打下良好的直覺基礎。
可以使用負數嗎？可以。乘積的正負號遵循一般的符號規則，每個部分乘積也會帶上相對應的正負號。
