加減消去法計算器

輸入計算

a₁（方程式 1 的 x 係數）

b₁（方程式 1 的 y 係數）

c₁（方程式 1 的常數項）

a₂（方程式 2 的 x 係數）

b₂（方程式 2 的 y 係數）

c₂（方程式 2 的常數項）

結果

聯立方程式的解

x = 3, y = 2

唯一解（兩線相交）

x	3
y	2
行列式（a₁b₂ − a₂b₁）	-5

什麼是加減消去法？

加減消去法（又稱加減法、消去法）是求解「二元一次聯立方程式」的常用技巧。做法是先將兩個方程式適當倍乘，讓其中一個未知數在相加或相減時剛好抵消，再把求得的值代回原式求出另一個未知數。這個計算器會幫你完成所有運算：只要輸入聯立方程式 \(a_1x + b_1y = c_1\) 與 \(a_2x + b_2y = c_2\) 的六個係數，就能立刻得到 \(x\) 與 \(y\) 的精確解。

2x2 線性方程組對應兩條直線，它們的交點就是解 (x, y)。

如何使用本計算器

把每一條方程式的係數填入對應的欄位。第一列是方程式 1（\(a_1\)、\(b_1\)、\(c_1\)），第二列是方程式 2（\(a_2\)、\(b_2\)、\(c_2\)）。係數可以是負數或小數。按下計算後，除了得到解之外，還會顯示行列式 \(a_1b_2 - a_2b_1\)，用來判斷此聯立方程式是否有唯一解。

公式解析

利用克拉瑪公式（與消去法等價），解為

$$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$

兩者共用的分母 \(a_1b_2 - a_2b_1\) 就是係數行列式。若這個值等於 0，代表兩條直線平行——可能無解（矛盾），也可能有無限多組解（兩條其實是同一條線）。

將方程式縮放使某個變數的係數相等，再相減即可消去該變數。

實際範例

解 \(2x + 3y = 12\) 與 \(x - y = 1\)。此時 \(a_1=2\)、\(b_1=3\)、\(c_1=12\)、\(a_2=1\)、\(b_2=-1\)、\(c_2=1\)。行列式為

$$2(-1) - 1(3) = -5$$

接著

$$x = \frac{12\cdot(-1) - 1\cdot 3}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3, \qquad y = \frac{2\cdot 1 - 1\cdot 12}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$

所以 \(x = 3\)、\(y = 2\)。

常見問題

如果行列式等於 0 怎麼辦？ 表示此聯立方程式沒有唯一解。計算器會自動檢查相容性，並回報「無解」（兩線平行）或「無限多組解」（兩線重合）。

可以輸入小數或分數嗎？ 小數可以直接輸入；分數請先換算成小數（例如 \(1/2 \to 0.5\)）。

這跟代入消去法一樣嗎？ 兩種方法得到的答案相同：加減消去法是把兩式相加減來消掉一個變數，而代入法則是先把其中一個變數單獨表示出來再代入。