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परिणाम

निकाय का हल

x = 3, y = 2

अद्वितीय हल (रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं)

x	3
y	2
सारणिक (a₁b₂ − a₂b₁)	-5

विलोपन विधि क्या है?

विलोपन विधि (जिसे योग विधि भी कहते हैं) दो अज्ञात राशियों वाले दो रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने की एक तकनीक है। इसमें समीकरणों को इस तरह गुणा किया जाता है कि जब उन्हें जोड़ा या घटाया जाए तो एक चर समाप्त हो जाए, फिर शेष मान को वापस रखकर दूसरा चर निकाल लिया जाता है। यह कैलकुलेटर सारी बीजगणितीय गणना आपके लिए कर देता है: बस निकाय $a_1x + b_1y = c_1$ और $a_2x + b_2y = c_2$ के छह गुणांक भरें, और यह x तथा y के सटीक मान दे देगा।

निर्देशांक ग्रिड पर एक ही बिंदु पर मिलती दो सीधी रेखाएँ — 2x2 रैखिक निकाय दो रेखाओं को दर्शाता है, जिनका प्रतिच्छेदन बिंदु ही हल (x, y) है।

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

प्रत्येक समीकरण के गुणांकों को संबंधित बॉक्स में दर्ज करें। पहली पंक्ति समीकरण 1 (a₁, b₁, c₁) के लिए है और दूसरी पंक्ति समीकरण 2 (a₂, b₂, c₂) के लिए। गुणांक ऋणात्मक या दशमलव भी हो सकते हैं। "गणना करें" दबाएं और आपको हल के साथ-साथ सारणिक $a_1b_2 - a_2b_1$ भी दिखेगा, जो बताता है कि अद्वितीय हल मौजूद है या नहीं।

सूत्र की व्याख्या

क्रेमर के नियम (जो विलोपन विधि के समतुल्य है) का उपयोग करते हुए हल इस प्रकार है —

$$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$

दोनों में समान हर $a_1b_2 - a_2b_1$ गुणांक सारणिक कहलाता है। यदि यह शून्य हो, तो दोनों रेखाएं समानांतर होती हैं — या तो कोई हल नहीं (असंगत निकाय) या अनंत हल (एक ही रेखा)।

गुणा और घटाव से एक चर को समाप्त करने के चरण दर्शाते हुए — समीकरणों को इस तरह गुणा करना कि एक चर के गुणांक समान हो जाएँ, फिर घटाने से वह चर समाप्त हो जाता है।

हल किया हुआ उदाहरण

हल करें $2x + 3y = 12$ और $x - y = 1$। यहां $a_1=2$, $b_1=3$, $c_1=12$, $a_2=1$, $b_2=-1$, $c_2=1$ है। सारणिक = $2(-1) - 1(3) = -5$।

$$x = \frac{12\cdot-1 - 1\cdot3}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3$$$$y = \frac{2\cdot1 - 1\cdot12}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$

अतः $x = 3$, $y = 2$।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर सारणिक शून्य हो तो क्या होगा? तब निकाय का कोई अद्वितीय हल नहीं होता। कैलकुलेटर संगति की जांच करता है और या तो "कोई हल नहीं" (समानांतर रेखाएं) या "अनंत हल" (एक ही रेखा) बताता है।

क्या मैं दशमलव या भिन्न दर्ज कर सकता हूं? दशमलव सीधे काम करते हैं। भिन्न को पहले उसके दशमलव मान में बदल लें (जैसे $1/2 \to 0.5$)।

क्या यह प्रतिस्थापन विधि के समान है? दोनों विधियों से एक ही उत्तर मिलता है; विलोपन विधि समीकरणों को मिलाकर एक चर को समाप्त करती है, जबकि प्रतिस्थापन विधि पहले एक चर को अलग कर लेती है।

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