गणना दर्ज करें

परिणाम

गुणनफल (a + b)(c + d)

= ac + ad + bc + bd

First (a·c)	3
Outer (a·d)	4
Inner (b·c)	6
Last (b·d)	8

FOIL मेथड क्या है?

FOIL दो द्विपदों (binomials) को गुणा करने का एक आसान तरीका याद रखने की तरकीब है। ये चार अक्षर First, Outer, Inner, Last के लिए हैं — यानी पदों के वे चार जोड़े जिन्हें आप गुणा करते हैं और फिर उनका योग करते हैं। दो द्विपदों $(a + b)(c + d)$ के लिए विस्तार होता है $ac + ad + bc + bd$। यह कैलकुलेटर हर चरण आपके लिए करता है और चारों आंशिक गुणनफल दिखाता है, ताकि आप अपना हल खुद जाँच सकें।

दो द्विपदों के पदों को जोड़ने वाले चापों को दिखाने वाला आरेख, पहले, बाहरी, भीतरी और अंतिम युग्मों के लिए — FOIL हर पद को जोड़ता है: पहला, बाहरी, भीतरी और अंतिम।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

चारों संख्यात्मक पद दर्ज करें: पहले द्विपद से a और b, तथा दूसरे द्विपद से c और d। कैलकुलेटर First $(a \cdot c)$, Outer $(a \cdot d)$, Inner $(b \cdot c)$ और Last $(b \cdot d)$ का गुणा करता है, फिर इन्हें जोड़कर अंतिम गुणनफल देता है। मान धनात्मक, ऋणात्मक या दशमलव कुछ भी हो सकते हैं।

सूत्र की व्याख्या

FOIL नियम असल में वितरण नियम (distributive property) को दो बार लगाने जैसा ही है:

$$(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd.$$

First में दोनों द्विपदों के पहले पद गुणा होते हैं, Outer में सबसे बाहरी पद, Inner में सबसे भीतरी पद, और Last में अंतिम पद। इन चारों को जोड़ने पर विस्तारित व्यंजक मिलता है।

दो गुणा दो का क्षेत्रफल ग्रिड जो दो द्विपदों के गुणन से चार गुणनफल ac, ad, bc, bd दिखाता है — क्षेत्रफल मॉडल: हर कोष्ठक चार FOIL गुणनफलों में से एक है।

हल किया हुआ उदाहरण

$(2 + 3)(4 + 5)$ का विस्तार करें:

First: $2 \times 4 = 8$
Outer: $2 \times 5 = 10$
Inner: $3 \times 4 = 12$
Last: $3 \times 5 = 15$

योग: $$8 + 10 + 12 + 15 = 45.$$ जाँच के तौर पर, $(2 + 3)(4 + 5) = 5 \times 9 = 45$। ✓

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या FOIL त्रिपदों (trinomials) पर काम करता है? नहीं — FOIL केवल दो द्विपदों के गुणन पर ही लागू होता है। बड़े बहुपदों के लिए पूर्ण वितरण नियम का उपयोग करें।

क्या मैं ऋणात्मक संख्याएँ इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ। कोई ऋणात्मक मान दर्ज करें (जैसे -3) और चिह्न अपने आप संभाल लिए जाते हैं।

चारों आंशिक गुणनफल क्यों दिखाए जाते हैं? First, Outer, Inner और Last को अलग-अलग देखने से आप हर गुणन चरण की जाँच कर सकते हैं और यह विधि अच्छी तरह सीख सकते हैं।

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