FOIL विधि क्या है?
FOIL दो द्विपदों (binomials) को गुणा करने का एक आसान याद रखने वाला तरीका है। इसका पूरा रूप है First, Outer, Inner, Last — यानी जब आप \((ax + b)(cx + d)\) जैसे व्यंजक को फैलाते हैं, तो ये चार जोड़ियाँ आपस में गुणा होती हैं। इन चारों गुणनफलों को जोड़कर और समान पदों को मिलाकर आपको फैला हुआ बहुपद मिल जाता है। यह कैलकुलेटर आपके लिए सारी गणना करता है और हर चरण दिखाता है, ताकि आप अपना उत्तर खुद भी जाँच सकें।
इसका उपयोग कैसे करें
हर द्विपद के दो हिस्से होते हैं। पहले द्विपद के लिए a (x का गुणांक) और b (अचर पद) डालें। दूसरे द्विपद के लिए c और d डालें। कैलकुलेटर फैला हुआ द्विघात \((ac)x^{2} + (ad+bc)x + bd\) के रूप में देता है, साथ ही हर अलग FOIL गुणनफल भी दिखाता है। अगर आपको सिर्फ़ \((3+4)(5+6)\) जैसे दो साधारण योगों को गुणा करना है, तो x के गुणांक a और c को इस तरह सेट करें कि संरचना मेल खाए, या सीधे अचर पदों के साथ काम करें।
सूत्र की व्याख्या
फैलाव इस प्रकार होता है: $$\left(\text{a}\,x + \text{b}\right)\left(\text{c}\,x + \text{d}\right) = \text{a}\,\text{c}\,x^{2} + \left(\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c}\right)x + \text{b}\,\text{d}$$ First गुणनफल है \(a\times c\), Outer है \(a\times d\), Inner है \(b\times c\), और Last है \(b\times d\)। बीच के दो पद (Outer और Inner) दोनों में चर x होता है, इसलिए वे मिलकर \((ad + bc)x\) बन जाते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
\((2x + 3)(4x + 5)\) को फैलाइए। First: \(2\times 4 = 8\)। Outer: \(2\times 5 = 10\)। Inner: \(3\times 4 = 12\)। Last: \(3\times 5 = 15\)। अब इन्हें मिलाइए: $$8x^{2} + (10+12)x + 15 = \mathbf{8x^{2} + 22x + 15}$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या मैं ऋणात्मक संख्याएँ इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ। -3 जैसा ऋणात्मक गुणांक डालें और चिह्न हर गुणनफल में सही ढंग से लागू होते रहेंगे।
क्या FOIL त्रिपदों (trinomials) पर भी काम करता है? नहीं — FOIL सिर्फ़ दो द्विपदों के लिए है। बड़े बहुपदों के लिए वितरण नियम (distributive property) का इस्तेमाल करते हुए एक-एक पद को गुणा करें।
अगर दोनों द्विपद सिर्फ़ संख्याएँ हों तो? a और c को संरचना के अनुसार सेट करें; अचर पद bd के साथ क्रॉस पद मिलकर भी सही कुल देते हैं, क्योंकि \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\)।
