रिवर्स FOIL कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

x² का गुणांक:

x का गुणांक:

अचर पद:

सूत्र (फॉर्मूला)

परिणाम

गुणनखंडित व्यंजक

(x + 2) (x + 3)

मूल व्यंजक	x² + 5x + 6
चरण-दर-चरण हल	1. Find the discriminant: b² - 4ac = 1 2. Find the roots: -2 and -3
अपना उत्तर जांचें	Multiply the factors back: (x + 2) × (x + 3) = Original Expression

रिवर्स FOIL कैलकुलेटर क्या है?

रिवर्स FOIL कैलकुलेटर ax² + bx + c रूप वाले किसी द्विघात त्रिपद को वापस दो द्विपदों में, जैसे (px + q)(rx + s), गुणनखंडित करता है। "FOIL" का मतलब है First, Outer, Inner, Last — यानी दो द्विपदों को आपस में गुणा करने की विधि। रिवर्स FOIL इसी प्रक्रिया को उल्टी दिशा में चलाता है: द्विपदों को फैलाकर त्रिपद बनाने के बजाय, आप त्रिपद से शुरू करते हैं और वे द्विपद ढूंढते हैं जिनसे यह बना था। यह कैलकुलेटर अनुमान और हिट-एंड-ट्रायल का सारा झंझट खुद संभाल लेता है और जब भी द्विघात पूर्णांकों पर गुणनखंडित होता है, तो साफ-सुथरे गुणनखंड लौटा देता है।

इसका उपयोग कैसे करें

• गुणांक a डालें (x² के आगे लिखी संख्या)।
• गुणांक b डालें (x के आगे लिखी संख्या)।
• अचर पद c डालें।
• गुणनखंडित रूप पढ़ें। यदि कोई पूर्णांक गुणनखंड संभव न हों, तो कैलकुलेटर आपको बता देगा।

उदाहरण के लिए, x² + 5x + 6 के लिए a = 1, b = 5, c = 6 भरें और (x + 2)(x + 3) पाएं।

विधि की पूरी समझ

ax² + bx + c का गुणनखंडन करने के लिए सबसे पहले a × c गुणा करें, फिर ऐसी दो संख्याएं ढूंढें जिनका गुणनफल यही हो और जिनका योग b के बराबर हो। इन्हीं दो संख्याओं की मदद से बीच वाले पद को तोड़ें, फिर समूह बनाकर (factor by grouping) गुणनखंडन करें। नतीजे में दो द्विपद मिलते हैं। इन्हें FOIL से गुणा करने पर मूल त्रिपद वापस मिल जाता है, जिससे उत्तर की पुष्टि हो जाती है।

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रिवर्स FOIL, First-Outer-Inner-Last विस्तार को उलटकर दोनों द्विपद गुणनखंड वापस निकालता है।

हल किया हुआ उदाहरण

आइए 2x² + 7x + 3 का गुणनखंडन करें। यहां a × c = 2 × 3 = 6। हमें दो ऐसी संख्याएं चाहिए जिनका गुणनफल 6 और योग 7 हो: ये हैं 6 और 1। इसे 2x² + 6x + x + 3 के रूप में लिखें, फिर समूह बनाएं: 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)। FOIL से जांच करें: 2x·x + 2x·3 + 1·x + 1·3 = 2x² + 7x + 3। बिल्कुल सही।

बीच के पद को विभाजित करने के लिए दो ऐसी संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल a·c और योग b हो।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

यह "गुणनखंडन संभव नहीं" क्यों दिखाता है? कुछ द्विघातों के मूल अपरिमेय (irrational) या सम्मिश्र (complex) होते हैं और वे पूर्णांक द्विपदों में नहीं टूटते। ऐसे मामलों में द्विघात सूत्र (quadratic formula) का उपयोग करें।

क्या यह तब भी काम करता है जब a, 1 न हो? हां — कैलकुलेटर ऊपर बताई गई समूह बनाने वाली विधि से 1 से बड़े अग्रणी गुणांकों को भी आसानी से संभाल लेता है।

क्या a, b या c ऋणात्मक हो सकते हैं? बिल्कुल। ऋणात्मक गुणांक पूरी तरह समर्थित हैं और द्विपदों में सही चिह्न (signs) देते हैं।