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परिणाम

विस्तृत गुणनफल (पदों का योग)

ac + ad + bc + bd

First — पहले पद (a·c)	3
Outer — बाहरी पद (a·d)	4
Inner — भीतरी पद (b·c)	6
Last — अंतिम पद (b·d)	8

FOIL विधि क्या है?

FOIL दो द्विपदों (binomials) को गुणा करने की एक आसान तकनीक है — यानी $(a + b)$ और $(c + d)$ जैसे व्यंजकों को। FOIL नाम दरअसल First, Outer, Inner, Last का संक्षिप्त रूप (acronym) है, जो बताता है कि पदों के जोड़ों को किस क्रम में गुणा करना है। यह कैलकुलेटर आपके चार गुणांक a, b, c और d लेता है और तुरंत हर गुणनफल के साथ-साथ पूरा विस्तृत परिणाम भी दिखा देता है।

FOIL विधि का आरेख जो दो द्विपदों के पदों को F, O, I, L लेबल वाले चार रंगीन चापों से जोड़ता है — FOIL का मतलब है First, Outer, Inner, Last (पहले, बाहरी, भीतरी, अंतिम) — गुणा किए जाने वाले पदों के चार जोड़े।

इस कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें

अपने दोनों द्विपदों को बनाने वाले चार मान भरें: पहले कोष्ठक $(a + b)$ के लिए a और b, तथा दूसरे कोष्ठक $(c + d)$ के लिए c और d। 'गणना करें' दबाते ही चारों आंशिक गुणनफल और उनका योग सामने आ जाएगा। ऋणात्मक संख्याएँ और दशमलव दोनों पूरी तरह स्वीकार हैं, इसलिए आप इसका उपयोग किसी भी संख्यात्मक द्विपद जोड़ी के लिए कर सकते हैं।

सूत्र की व्याख्या

FOIL नियम गुणनफल को इस तरह विस्तृत करता है:

$$\left(a + b\right)\left(c + d\right) = ac + ad + bc + bd$$

First (पहले पद): पहले-पहले पदों को गुणा करें → $a \times c$
Outer (बाहरी पद): बाहर वाले पदों को गुणा करें → $a \times d$
Inner (भीतरी पद): अंदर वाले पदों को गुणा करें → $b \times c$
Last (अंतिम पद): अंतिम-अंतिम पदों को गुणा करें → $b \times d$

इन चारों गुणनफलों को जोड़ने पर पूरी तरह विस्तृत व्यंजक मिल जाता है।

सपाट बॉक्स आरेख जो दिखाता है कि प्रत्येक FOIL गुणनफल विस्तृत परिणाम के चार पदों से कैसे मेल खाता है — चारों गुणाओं में से प्रत्येक विस्तृत व्यंजक $ac + ad + bc + bd$ का एक पद देता है।

हल किया हुआ उदाहरण

$(2 + 3)(4 + 5)$ का विस्तार करें। First: $2 \times 4 = 8$। Outer: $2 \times 5 = 10$। Inner: $3 \times 4 = 12$। Last: $3 \times 5 = 15$। योग $$= 8 + 10 + 12 + 15 = 45$$ जाँच के लिए, $(2 + 3)(4 + 5) = 5 \times 9 = 45$ ✓।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या FOIL किसी भी दो द्विपदों पर काम करता है? हाँ — FOIL किन्हीं भी दो-पद वाले व्यंजकों के गुणनफल पर लागू होता है। बड़े व्यंजकों (त्रिपद आदि) के लिए अधिक सामान्य वितरण विधि (distributive method) का इस्तेमाल करें।

क्या मैं ऋणात्मक संख्याएँ इस्तेमाल कर सकता हूँ? बिल्कुल। किसी भी पद के लिए ऋणात्मक मान भरें, कैलकुलेटर चिह्नों (signs) को अपने आप संभाल लेता है।

चार पद ही क्यों होते हैं? क्योंकि पहले कोष्ठक के दोनों पदों में से प्रत्येक को दूसरे कोष्ठक के दोनों पदों से गुणा करना पड़ता है, जिससे $2 \times 2 = 4$ गुणनफल बनते हैं।

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