Yok Etme Yöntemi Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

a₁ (x katsayısı, 1. denklem)

b₁ (y katsayısı, 1. denklem)

c₁ (sabit terim, 1. denklem)

a₂ (x katsayısı, 2. denklem)

b₂ (y katsayısı, 2. denklem)

c₂ (sabit terim, 2. denklem)

Sonuç

Sistemin Çözümü

x = 3, y = 2

tek çözüm (doğrular kesişir)

x	3
y	2
Determinant (a₁b₂ − a₂b₁)	-5

Yok Etme Yöntemi Nedir?

Yok etme yöntemi (toplama yöntemi olarak da bilinir), iki bilinmeyenli iki doğrusal denklemden oluşan bir sistemi çözmeye yarayan bir tekniktir. Denklemleri, toplandıklarında veya çıkarıldıklarında değişkenlerden biri sıfırlanacak şekilde uygun katsayılarla genişletir, ardından bulduğunuz değeri yerine koyarak diğer bilinmeyeni hesaplarsınız. Bu hesaplama aracı tüm işlemi sizin yerinize yapar: \(a_1 x + b_1 y = c_1\) ve \(a_2 x + b_2 y = c_2\) sistemine ait altı katsayıyı girin; araç size x ve y'nin tam değerlerini versin.

2x2 doğrusal sistem, kesişim noktası çözüm (x, y) olan iki doğruya karşılık gelir.

Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?

Her denklemin katsayılarını ilgili kutucuklara yazın. Birinci satır 1. denkleme (a₁, b₁, c₁), ikinci satır ise 2. denkleme (a₂, b₂, c₂) aittir. Katsayılar negatif veya ondalıklı olabilir. Hesapla düğmesine bastığınızda çözümle birlikte \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) determinantını da görürsünüz; bu değer tek bir çözümün olup olmadığını gösterir.

Formülün Açıklaması

Cramer kuralına göre (yok etme yöntemiyle aynı sonucu verir) çözüm şöyledir:

$$x = \frac{c_1\,b_2 - c_2\,b_1}{a_1\,b_2 - a_2\,b_1}, \qquad y = \frac{a_1\,c_2 - a_2\,c_1}{a_1\,b_2 - a_2\,b_1}$$

Ortak payda olan \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) ifadesi katsayı determinantıdır. Bu değer sıfırsa doğrular paraleldir; yani ya hiç çözüm yoktur (tutarsız sistem) ya da sonsuz sayıda çözüm vardır (aynı doğru söz konusudur).

Bir değişkenin katsayıları eşitlenecek şekilde denklemleri ölçeklendirip çıkarmak o değişkeni yok eder.

Çözümlü Örnek

\(2x + 3y = 12\) ve \(x - y = 1\) denklemlerini çözelim. Burada \(a_1=2\), \(b_1=3\), \(c_1=12\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=1\) olur. Determinant \(2(-1) - 1(3) = -5\)'tir. Buradan

$$x = \frac{12\cdot(-1) - 1\cdot 3}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3, \qquad y = \frac{2\cdot 1 - 1\cdot 12}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$

bulunur. Yani \(x = 3\), \(y = 2\).

Sıkça Sorulan Sorular

Determinant sıfır çıkarsa ne olur? Sistemin tek bir çözümü yoktur. Hesaplama aracı tutarlılığı denetler ve sonucu ya "çözüm yok" (paralel doğrular) ya da "sonsuz sayıda çözüm" (çakışık doğrular) olarak bildirir.

Ondalık veya kesirli sayı girebilir miyim? Ondalık sayılar doğrudan çalışır. Kesirleri önce ondalık karşılığına çevirin (örneğin 1/2 → 0,5).

Bu yöntem yerine koyma yöntemiyle aynı mı? Her iki yöntem de aynı sonucu verir. Yok etme yönteminde denklemler birleştirilerek bir değişken sıfırlanırken, yerine koyma yönteminde önce bir değişken yalnız bırakılır.