반감기 붕괴 계산기란?
이 계산기는 지수 감쇠(exponential decay)를 모델링합니다. 지수 감쇠란 일정한 시간 간격(반감기)마다 양이 절반으로 줄어드는 현상을 말합니다. 방사성 붕괴에서 가장 잘 알려져 있지만, 동일한 수식은 약물 배설(약동학), 콘덴서 방전, 냉각 과정 등 일정한 감쇠율을 따르는 모든 현상에 그대로 적용됩니다. 초기량, 반감기, 경과 시간을 입력하면 남은 양과 함께 여러 관련 값을 함께 알려줍니다.
사용 방법
초기량(\(N_0\))을 입력하세요. 질량, 원자 개수, 농도 등 어떤 양수 값이든 가능합니다. 이어서 반감기(\(T\))와 경과 시간(\(t\))을 입력합니다. 여기서 가장 중요한 점은 반감기와 경과 시간을 같은 단위로 맞춰야 한다는 것입니다(둘 다 초, 둘 다 년 등). 그러면 계산기는 남은 양, 잔여 비율(%), 이미 붕괴한 양, 그리고 붕괴 상수와 평균 수명을 함께 보여줍니다.
공식 설명
핵심 식은 다음과 같습니다.
$$N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$$
경과 시간 \(t\)가 반감기 \(T\)만큼 늘어날 때마다 지수가 1씩 증가하고, 양은 \(\tfrac{1}{2}\)씩 곱해집니다. 붕괴 상수 \(\lambda = \frac{\ln(2)}{T}\)는 순간적인 비율 감쇠율을 나타내고, 평균 수명 \(\tau = \frac{T}{\ln(2)}\)는 입자 하나가 평균적으로 존재하는 시간으로, 반감기의 약 1.4427배에 해당합니다.
계산 예시
탄소-14의 반감기는 약 5730년입니다. 초기 원자 수 \(N_0 = 1000\)개에서 시작해 \(t = 5730\)년이 지나면 정확히 반감기 한 번이 지난 것이므로, 다음과 같이 500개가 남습니다.
$$N = 1000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 500$$
잔여 비율은 50%, 붕괴 상수는 \(\frac{\ln(2)}{5730} \approx 0.000121\) 연간, 평균 수명은 \(\frac{5730}{\ln(2)} \approx 8267\)년입니다.
자주 묻는 질문(FAQ)
단위가 중요한가요? 반감기 \(T\)와 경과 시간 \(t\)가 같은 단위이기만 하면 됩니다. 비율 \(t/T\)는 무차원이므로, 결과는 \(N_0\)와 동일한 단위로 유지됩니다.
t가 0이면 어떻게 되나요? \(\left(\frac{1}{2}\right)^{0} = 1\)이므로 남은 양은 초기량 전체와 같습니다.
약물 복용량 계산에도 쓸 수 있나요? 네. 체내 약물 농도는 흔히 1차 반응 속도론을 따르므로, 해당 약물의 배설 반감기와 투여 후 경과 시간을 입력하면 됩니다.
