निरपेक्ष मान (मॉड्यूलस) समीकरण कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

a (गुणांक)

b (अंदर का अचर)

c (दायाँ पक्ष)

समीकरण |a·x + b| = c को हल करता है।

परिणाम

हल

x = 8  or  x = -2

दो हल

समीकरण	|a·x + b| = c
हलों की संख्या	2

निरपेक्ष मान समीकरण क्या होता है?

निरपेक्ष मान (absolute value) समीकरण का रूप \(|ax + b| = c\) होता है, जहाँ निरपेक्ष मान के चिह्नों के अंदर का व्यंजक शून्य से एक निश्चित दूरी \(c\) पर होना चाहिए। चूँकि निरपेक्ष मान दूरी को दर्शाता है, इसलिए अंदर की राशि धनात्मक भी हो सकती है और ऋणात्मक भी — और यही वजह है कि ऐसे समीकरण आमतौर पर दो हल देते हैं। यह कैलकुलेटर \(|ax + b| = c\) के रूप में लिखे किसी भी समीकरण को चर \(x\) के लिए हल कर देता है।

निरपेक्ष मान शून्य से दूरी मापता है, जिससे संख्या रेखा पर दो समान दूरी वाले हल मिलते हैं।

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अपने समीकरण से तीनों संख्याएँ \(a\), \(b\) और \(c\) दर्ज करें। उदाहरण के लिए, \(|2x - 3| = 5\) का मतलब है \(a = 2\), \(b = -3\) और \(c = 5\)। "गणना करें" पर क्लिक करते ही यह टूल \(x\) के दोनों संभावित मान दिखा देता है; जब \(c = 0\) हो तो एक ही मान और जब \(c\) ऋणात्मक हो तो "कोई हल नहीं" का संदेश दिखाता है।

सूत्र की व्याख्या

निरपेक्ष मान हटाने के लिए हम समीकरण को दो स्थितियों में बाँट देते हैं: \(ax + b = c\) और \(ax + b = -c\)। दोनों को \(x\) के लिए हल करने पर हमें मिलता है $$x = \frac{c - b}{a} \;\text{ या }\; x = \frac{-c - b}{a}$$ यदि \(c < 0\) है तो कोई हल नहीं होता, क्योंकि निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। यदि \(c = 0\) है तो दोनों स्थितियाँ मिलकर एक ही हल बन जाती हैं। ध्यान रहे कि गुणांक \(a\) शून्य नहीं होना चाहिए, वरना हल करने के लिए कोई चर ही नहीं बचता।

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दोनों हल वहाँ हैं जहाँ \(|ax+b|\) का V-आकार ग्राफ क्षैतिज रेखा \(y = c\) से मिलता है।

हल किया हुआ उदाहरण

हल करें \(|2x - 3| = 5\)। यहाँ \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 5\)। पहला हल: $$x = \frac{5 - (-3)}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ दूसरा हल: $$x = \frac{-5 - (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ अतः \(x = 4\) या \(x = -1\)। आप जाँच सकते हैं: \(|2(4) - 3| = |5| = 5\) ✓ और \(|2(-1) - 3| = |-5| = 5\) ✓।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

निरपेक्ष मान समीकरण के दो उत्तर क्यों होते हैं? क्योंकि एक धनात्मक और एक ऋणात्मक राशि — दोनों का निरपेक्ष मान समान होता है, इसलिए अंदर का व्यंजक \(+c\) या \(-c\) दोनों के बराबर हो सकता है।

कब कोई हल नहीं होता? जब \(c\) ऋणात्मक होता है। निरपेक्ष मान हमेशा शून्य या धनात्मक होता है, इसलिए वह किसी ऋणात्मक संख्या के बराबर कभी नहीं हो सकता।

अगर c शून्य हो तो क्या होगा? तब \(|ax + b| = 0\) होने पर \(ax + b = 0\) हो जाता है, जिससे ठीक एक ही हल मिलता है: \(x = -\frac{b}{a}\)।