Что такое уравнение с модулем?
Уравнение с модулем имеет вид \(|ax + b| = c\), где выражение внутри знака модуля должно отстоять от нуля ровно на расстояние \(c\). Поскольку модуль показывает именно расстояние, выражение под ним может быть как положительным, так и отрицательным — именно поэтому такие уравнения обычно дают два корня. Этот калькулятор решает любое уравнение вида \(|ax + b| = c\) относительно переменной \(x\).
Как пользоваться калькулятором
Введите три числа: \(a\), \(b\) и \(c\) из вашего уравнения. Например, в уравнении \(|2x - 3| = 5\) коэффициент \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 5\). Нажмите «Вычислить», и калькулятор выдаст оба возможных значения \(x\), единственное значение при \(c = 0\) либо сообщение «Нет решений», если \(c\) отрицательно.
Разбор формулы
Чтобы избавиться от модуля, уравнение разбивают на два случая: \(ax + b = c\) и \(ax + b = -c\). Решая каждый относительно \(x\), получаем $$x = \frac{c - b}{a} \quad \text{ или } \quad x = \frac{-c - b}{a}$$ Если \(c < 0\), решений нет, ведь модуль никогда не бывает отрицательным. Если \(c = 0\), оба случая сливаются в один корень. Коэффициент \(a\) не может равняться нулю — иначе в уравнении просто нет переменной, которую нужно найти.
Пример с решением
Решим \(|2x - 3| = 5\). Здесь \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 5\). Первый корень: $$x = \frac{5 - (-3)}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ Второй корень: $$x = \frac{-5 - (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Значит, \(x = 4\) или \(x = -1\). Проверим: \(|2(4) - 3| = |5| = 5\) ✓ и \(|2(-1) - 3| = |-5| = 5\) ✓.
Частые вопросы
Почему у уравнений с модулем два ответа? Потому что и положительное, и отрицательное число имеют одинаковый модуль, поэтому выражение внутри может равняться как \(+c\), так и \(-c\).
Когда решений нет? Когда \(c\) отрицательно. Модуль всегда равен нулю или больше нуля, поэтому он не может быть равен отрицательному числу.
Что если c равно нулю? Тогда \(|ax + b| = 0\) заставляет \(ax + b = 0\), и получается ровно один корень: \(x = -\frac{b}{a}\).
