Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет объём (n-мерное «содержание») и площадь поверхности (меру ограничивающей сферы) n-мерного шара — его ещё называют гиперсферой. Это обобщение привычных нам круга и шара на любое число евклидовых измерений. При n = 2 вы получаете площадь и длину окружности круга; при n = 3 — обычный объём и площадь поверхности шара; при больших n — аналогичные многомерные величины.
Как пользоваться
Укажите размерность n (целое положительное число: 1, 2, 3, 4, …) и радиус r (любое неотрицательное действительное число в выбранных вами единицах длины). Объём выводится в (единица длины)n, а площадь поверхности — в (единица длины)n-1. Выпадающих списков единиц нет: введённые значения рассматриваются как безразмерные действительные числа.
Разбор формулы
В замкнутых формулах используется гамма-функция — непрерывное продолжение факториала. Объём равен $$V_n(r) = \frac{\pi^{\,n/2}}{\Gamma\!\left(\frac{n}{2}+1\right)}\, r^{\,n},$$ а площадь поверхности — $$S_n(r) = \frac{2\,\pi^{\,n/2}}{\Gamma\!\left(\frac{n}{2}\right)}\, r^{\,n-1}.$$ Они связаны соотношением \(S_n(r) = n \cdot V_n(r) / r\), или, что то же самое, \(V_n(r) = (r / n) \cdot S_n(r)\); кроме того, площадь поверхности — это производная объёма по \(r\). Чтобы сохранять численную устойчивость при больших n, калькулятор проводит все вычисления через натуральные логарифмы, используя приближение логарифма гамма-функции по Ланцошу.
Разобранный пример
Возьмём n = 3 и r = 1. Тогда \(\Gamma(5/2) = \frac{3}{4}\cdot\sqrt{\pi} \approx 1{,}329340\), а \(\pi^{3/2} \approx 5{,}568328\), поэтому $$V = \frac{5{,}568328}{1{,}329340} = 4{,}18879$$ — что совпадает с \(\frac{4}{3}\cdot\pi\). Для площади поверхности берём \(\Gamma(3/2) = \frac{1}{2}\cdot\sqrt{\pi} \approx 0{,}886227\), откуда $$S = \frac{2\cdot 5{,}568328}{0{,}886227} = 12{,}56637$$ — это в точности \(4\cdot\pi\).
Частые вопросы
Может ли n быть нецелым? С математической точки зрения — да, ведь гамма-функция определена для всех положительных действительных чисел, так что дробные размерности дают корректное значение. Но изначально калькулятор рассчитан на целые положительные числа.
Почему объём единичного шара уменьшается при больших n? Объём единичного шара достигает максимума около n = 5, а затем стремится к нулю с ростом n — это знаменитое и контринтуитивное свойство геометрии многомерных пространств.
Что означает площадь поверхности при n = 1? Одномерный «шар» — это отрезок [-r, r] с «объёмом» 2r, а его граница — две концевые точки, поэтому мера поверхности равна 2.
