ما هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول؟
التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول، ويُرمز له بـ \(K(k)\)، دالة خاصة كلاسيكية تُعرَّف بأنها تكامل المقدار \(d\theta / \sqrt{1 - k^{2}\cdot\sin^{2}\theta}\) من \(0\) إلى \(\pi/2\). وهو يظهر كلما احتجت إلى الدور الزمني الدقيق (ذي السعة الكبيرة) للبندول، أو الحثّ المتبادل بين ملفّين متحدَّي المحور عبر صيغة نيومان، أو حساب أطوال الأقواس، أو حقول الإجهاد حول الشقوق الإهليلجية. تُعيد هذه الحاسبة القيمة الحقيقية لـ \(K(k)\) عند معامل إهليلجي \(k\) معطى.
الاصطلاح المُعتمَد: المعامل k وليس البارامتر m
هناك اصطلاحان شائعان. تستخدم هذه الأداة المعامل \(k\) مباشرةً، أي أن البارامتر هو \(m = k^{2}\). ويعني هذا أن \(K(k)\) في هذا الموقع تساوي دالة ellipke(m) في MATLAB عند \(m = k^{2}\). على سبيل المثال، يقابل الأمر ellipke(0.5) في MATLAB إدخال \(k = \sqrt{0.5} \approx 0.7071\) هنا. تأكَّد دائمًا من الاصطلاح الذي يستخدمه أي مرجع قبل أن تقارن الأرقام.
طريقة الاستخدام
أدخِل المعامل الإهليلجي \(k\) ضمن النطاق \(-1 \le k \le 1\) ثم اقرأ قيمة \(K(k)\). وبما أن \(K\) دالة زوجية في \(k\)، فإن الإشارة لا تؤثر (\(K(-k) = K(k)\))؛ إذ تأخذ الأداة القيمة المطلقة داخليًا. تكون الدالة منتهية عند \(|k| < 1\) وتتباعد لوغاريتميًا كلما اقترب \(|k|\) من \(1\).
الصيغة وطريقة الحساب
نعتمد على المتوسط الحسابي–الهندسي:
$$K(k) = \frac{\pi}{2\,\mathrm{AGM}\!\left(1,\;\sqrt{1 - k^{2}}\right)}$$نبدأ بالقيمتين \(a = 1\) و \(b = \sqrt{1 - k^{2}}\) (المعامل المُتمِّم)، ثم نستبدلهما تكرارًا بمتوسطهما الحسابي ومتوسطهما الهندسي حتى يتطابقا. يتقارب AGM تربيعيًا، لذا تكفي نحو اثنتي عشرة تكرارة للوصول إلى الدقة المزدوجة الكاملة.
مثال محلول
عند \(k = 0.1\): يكون \(m = 0.01\)، والمعامل المُتمِّم هو \(\sqrt{0.99} \approx 0.994987\). يتقارب AGM للقيمتين \(1\) و \(0.994987\) إلى نحو \(0.9974921\). ومن ثَمّ
$$K(0.1) = \frac{\pi}{2 \times 0.9974921} \approx 1.5747456$$الأسئلة الشائعة
كم تساوي \(K(0)\)؟ تساوي بالضبط \(\pi/2 \approx 1.5707963\)، لأن المقدار المُكامَل يؤول إلى \(1\).
لماذا تتباعد القيمة عند \(k = 1\)؟ لأن المعامل المُتمِّم يصبح صفرًا، فيكون \(\mathrm{AGM}(1,0) = 0\)، ويصبح لدى \(K(k)\) تفرُّد لوغاريتمي، فتؤول \(K \to +\infty\).
هل أستطيع إدخال \(|k| > 1\)؟ لا. خارج النطاق \(-1 \le k \le 1\) يكون التكامل الحقيقي غير معرَّف؛ إذ يتطلب الأمر تحويلًا بمقلوب المعامل، ولذلك ترفض الأداة مثل هذا الإدخال.
