Qu'est-ce que le calculateur d'aire d'un secteur à partir de la longueur d'arc ?
Un secteur circulaire est la « part de tarte » délimitée par deux rayons et l'arc qui les relie. Si la formule la plus connue pour calculer son aire s'appuie sur l'angle au centre, il est tout à fait possible de l'obtenir directement à partir du rayon et de la longueur d'arc. C'est précisément ce que fait ce calculateur : il vous renvoie instantanément l'aire du secteur, exprimée en unités carrées.
Comment l'utiliser
Saisissez le rayon \(r\) du cercle ainsi que la longueur d'arc \(s\) — c'est-à-dire la distance courbe parcourue le long du bord du cercle qui borde le secteur. Les deux valeurs doivent être exprimées dans la même unité de longueur. Cliquez sur « Calculer » et l'outil affiche l'aire dans cette unité, élevée au carré.
La formule expliquée
L'aire est donnée par :
$$A = \frac{1}{2} \cdot r \cdot s$$Cette formule découle de l'expression classique de l'aire d'un secteur, \(A = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \theta\) (avec \(\theta\) en radians), combinée à la relation de la longueur d'arc \(s = r \cdot \theta\). En remplaçant \(\theta\) par \(s / r\), on obtient \(A = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot (s / r) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot s\). L'angle disparaît : seules les valeurs \(r\) et \(s\) sont nécessaires.
Exemple concret
Imaginons un secteur de rayon 5 unités et de longueur d'arc 10 unités. On a alors $$A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25 \text{ unités carrées.}$$ Si le rayon valait 8 et la longueur d'arc 6, l'aire serait de \(\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\) unités carrées.
Foire aux questions
Ai-je besoin de l'angle au centre ? Non. Cette méthode fait totalement l'impasse sur l'angle : seuls le rayon et la longueur d'arc suffisent.
Dans quelle unité le résultat est-il exprimé ? Si vos données sont en centimètres, l'aire sera en centimètres carrés. Le résultat correspond toujours au carré de l'unité que vous avez choisie en entrée.
La longueur d'arc peut-elle dépasser la circonférence ? Physiquement, non : l'arc d'un secteur ne peut pas être plus long que le cercle complet (\(2\pi r\)). Si c'est le cas, vous avez probablement saisi des valeurs correspondant à plus d'un tour complet.
