Qu'est-ce que la longueur d'un arc ?
La longueur d'un arc correspond à la distance mesurée le long du bord courbe d'un cercle, entre deux points. Elle dépend de deux paramètres : la taille du cercle (son rayon) et l'ouverture de la portion considérée (l'angle au centre). Ce calculateur fonctionne pour n'importe quel cercle et n'importe quel angle, et renvoie la longueur de l'arc dans la même unité que celle utilisée pour le rayon.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le rayon du cercle ainsi que l'angle au centre qui sous-tend l'arc. Indiquez si cet angle est exprimé en degrés ou en radians, puis lisez directement la longueur de l'arc. L'outil affiche également l'angle équivalent dans l'autre unité, la circonférence complète, ainsi que la corde, c'est-à-dire le segment en ligne droite reliant les deux extrémités de l'arc.
La formule expliquée
Lorsque l'angle θ est exprimé en radians, la longueur de l'arc se calcule très simplement : $$s = r \times \theta$$ Cela s'explique par la définition même du radian, qui est l'angle découpant un arc égal au rayon. Lorsque l'angle est donné en degrés, on procède par proportion en considérant l'arc comme une fraction du cercle entier : $$s = 2\pi r \times \frac{\theta^\circ}{360}$$ Les deux formules donnent exactement le même résultat, puisque \(360^\circ = 2\pi\) radians.
Exemple concret
Prenons un cercle de rayon 5 unités avec un angle au centre de 90°. La circonférence complète vaut \(2\pi \times 5 \approx 31{,}4159\). Comme 90° représentent un quart du cercle, la longueur de l'arc est égale à $$31{,}4159 \times \frac{90}{360} = 7{,}85398 \text{ unités}.$$ De la même manière, \(90^\circ = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708\) radian, et \(5 \times 1{,}5708 = 7{,}85398\).
Longueurs d'arc communes pour les angles standard
La longueur d'arc d'un cercle se trouve avec la formule \(L = r\theta\), où \(\theta\) est l'angle au centre en radians. Si votre angle est en degrés, convertissez-le d'abord avec \(\theta_{rad} = \theta_{deg} \times \frac{\pi}{180}\). Puisque le cercle complet (360°) a une circonférence \(2\pi r\), chaque angle couvre une fraction simple de cette circonférence.
Le tableau ci-dessous énumère les angles les plus courants, leurs équivalents en radians, la longueur d'arc exprimée en tant que fraction de la circonférence, et la longueur d'arc réelle pour un cercle unitaire (\(r=1\)).
| Angle (degrés) | Angle (radians) | Fraction du cercle | Longueur d'arc (générale) | Longueur d'arc, r = 1 |
|---|---|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | 1/12 | \(\pi r/6\) | 0.5236 |
| 45° | \(\pi/4\) | 1/8 | \(\pi r/4\) | 0.7854 |
| 60° | \(\pi/3\) | 1/6 | \(\pi r/3\) | 1.0472 |
| 90° | \(\pi/2\) | 1/4 | \(\pi r/2\) | 1.5708 |
| 120° | \(2\pi/3\) | 1/3 | \(2\pi r/3\) | 2.0944 |
| 180° | \(\pi\) | 1/2 | \(\pi r\) | 3.1416 |
| 270° | \(3\pi/2\) | 3/4 | \(3\pi r/2\) | 4.7124 |
| 360° | \(2\pi\) | 1 (cercle complet) | \(2\pi r\) | 6.2832 |
Pour tout autre rayon, multipliez la valeur \(r=1\) par votre rayon. Par exemple, un arc de 90° sur un cercle de rayon 5 a une longueur \(5 \times 1.5708 = 7.854\).
Questions fréquentes
Dans quelle unité le résultat est-il exprimé ? La longueur de l'arc s'exprime dans la même unité que le rayon : si vous saisissez des centimètres, le résultat sera en centimètres.
Comment convertir des degrés en radians ? Multipliez la valeur en degrés par \(\frac{\pi}{180}\). Ainsi, \(180^\circ = \pi \approx 3{,}14159\) radians.
Qu'est-ce que la corde ? La corde est le segment en ligne droite reliant les deux extrémités de l'arc. Elle se calcule par la formule \(2r \cdot \sin(\theta/2)\) et reste toujours plus courte que l'arc.
