Qu'est-ce que la longueur d'un arc ?
La longueur d'un arc correspond à la distance mesurée le long du bord courbe d'un cercle, entre deux points. Lorsque l'angle au centre que sous-tend l'arc est exprimé en radians, la relation devient remarquablement simple : \(s = r \times \theta\). C'est précisément ce qui fait des radians l'unité naturelle pour mesurer les grandeurs circulaires : l'angle convertit directement le rayon en une longueur.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le rayon du cercle (r) et l'angle au centre (θ) en radians. Le calculateur affiche instantanément la longueur de l'arc, exprimée dans la même unité que le rayon. Il indique également la longueur de la corde — la distance en ligne droite entre les deux extrémités de l'arc — à titre de référence. Si votre angle est en degrés, convertissez-le d'abord en le multipliant par π/180.
La formule expliquée
Un cercle complet mesure 2π radians et a une circonférence de 2πr. Un arc qui couvre une fraction θ/(2π) du cercle a donc pour longueur \(\left(\frac{\theta}{2\pi}\right) \cdot 2\pi r = r\theta\). La corde, elle, s'appuie sur le triangle isocèle formé par les deux rayons et la corde :
$$c = 2r \cdot \sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)$$
Exemple concret
Supposons r = 5 et θ = 1,5708 radian (soit 90°). On obtient alors $$s = 5 \times 1{,}5708 = 7{,}854 \text{ unités.}$$ La corde vaut $$c = 2 \times 5 \times \sin(0{,}7854) = 10 \times 0{,}7071 = 7{,}071 \text{ unités.}$$ Comme on pouvait s'y attendre, l'arc courbe est légèrement plus long que la corde rectiligne.
Foire aux questions
Suis-je obligé d'utiliser les radians ? Oui : la formule \(s = r\theta\) ne fonctionne qu'avec des radians. Convertissez les degrés à l'aide de \(\theta = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180}\).
Dans quelle unité le résultat est-il exprimé ? La longueur de l'arc est exprimée dans la même unité que le rayon (cm, m, pouces, etc.).
Pourquoi afficher aussi la corde ? De nombreux travaux de conception et d'ingénierie nécessitent à la fois la distance courbe et la distance en ligne droite entre les extrémités de l'arc.
