Qu'est-ce que la flèche (sagitta) ?
La flèche — sagitta en latin, qui signifie « flèche » au sens de l'arme — désigne la hauteur d'un arc de cercle, mesurée du milieu de sa corde jusqu'au milieu de l'arc lui-même. Elle indique de combien l'arc s'écarte de sa corde. On retrouve cette grandeur en optique, en tir à l'arc, en génie civil, en menuiserie ainsi qu'en conception routière et ferroviaire, partout où interviennent des formes courbes.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le rayon r du cercle et la longueur de la corde c (la distance en ligne droite entre les deux extrémités de l'arc). Le calculateur vous renvoie la flèche, la longueur de l'arc et l'angle au centre sous-tendu par la corde. Veillez à ce que la corde ne dépasse pas le diamètre (\(c \le 2r\)) : au-delà, la figure n'a aucune solution géométrique possible.
La formule expliquée
La flèche découle directement du théorème de Pythagore. La demi-corde (\(c/2\)), l'apothème (distance du centre à la corde) et le rayon forment un triangle rectangle. L'apothème vaut \(\sqrt{r^{2} - (c/2)^{2}}\), de sorte que la flèche correspond au rayon diminué de l'apothème :
$$s = r - \sqrt{r^{2} - \left(\dfrac{c}{2}\right)^{2}}$$
L'angle au centre est \(\theta = 2\cdot\arcsin(c / 2r)\), et la longueur de l'arc s'écrit \(L = r\cdot\theta\) (avec \(\theta\) exprimé en radians).
Exemple détaillé
Prenons \(r = 5\) et \(c = 8\). On a alors \(c/2 = 4\), puis \(r^{2} - (c/2)^{2} = 25 - 16 = 9\), soit \(\sqrt{9} = 3\). La flèche vaut donc $$5 - 3 = 2.$$ L'angle au centre est \(2\cdot\arcsin(4/5) \approx 1{,}8546\ \text{rad} \approx 106{,}26°\), et la longueur de l'arc atteint \(5 \times 1{,}8546 \approx 9{,}273\).
FAQ
Et si je connais la flèche et la corde, mais pas le rayon ? Il suffit de réarranger la formule : \(r = (s^{2} + (c/2)^{2}) / (2s)\).
Pourquoi la corde est-elle limitée à 2r ? La plus longue corde possible dans un cercle est le diamètre, qui vaut \(2r\). Une valeur supérieure n'admet aucune solution géométrique réelle.
La flèche correspond-elle à la hauteur du segment ? Oui : flèche, hauteur d'arc et hauteur d'un segment circulaire désignent tous la même mesure.
