Что такое сагитта?
Сагитта (от латинского «стрела») — это высота дуги окружности, измеренная от середины хорды до середины самой дуги. Она показывает, насколько сильно дуга выгибается относительно своей хорды. Этот термин встречается в оптике, стрельбе из лука, строительной инженерии, столярном деле, а также при проектировании дорог и железнодорожных путей, где криволинейные формы повсюду.
Как пользоваться калькулятором
Введите радиус окружности r и длину хорды c (расстояние по прямой между двумя концами дуги). Калькулятор вычислит сагитту, длину дуги и центральный угол, опирающийся на хорду. Убедитесь, что длина хорды не превышает диаметр (\(c \le 2r\)), иначе такая фигура геометрически невозможна.
Разбор формулы
Сагитта напрямую выводится из теоремы Пифагора. Половина хорды (\(c/2\)), апофема (расстояние от центра до хорды) и радиус образуют прямоугольный треугольник. Апофема равна \(\sqrt{r^{2} - (c/2)^{2}}\), поэтому сагитта — это радиус минус апофема:
$$s = r - \sqrt{r^{2} - \left(\dfrac{c}{2}\right)^{2}}$$
Центральный угол вычисляется как \(\theta = 2\cdot\arcsin(c / 2r)\), а длина дуги — как \(L = r\cdot\theta\) (где \(\theta\) выражен в радианах).
Пример расчёта
Допустим, \(r = 5\) и \(c = 8\). Тогда \(c/2 = 4\), а \(r^{2} - (c/2)^{2} = 25 - 16 = 9\), значит \(\sqrt{9} = 3\). Сагитта равна $$s = 5 - 3 = 2.$$ Центральный угол составляет \(2\cdot\arcsin(4/5) \approx 1{,}8546\ \text{рад} \approx 106{,}26°\), а длина дуги — \(5 \times 1{,}8546 \approx 9{,}273\).
Частые вопросы
Что делать, если известны сагитта и хорда, но неизвестен радиус? Формулу можно преобразовать: $$r = \frac{s^{2} + (c/2)^{2}}{2s}.$$
Почему длина хорды ограничена значением 2r? Самая длинная хорда в окружности — это диаметр, равный \(2r\). Большее значение не имеет реального геометрического решения.
Сагитта и высота сегмента — это одно и то же? Да: сагитта, высота дуги и высота кругового сегмента обозначают одну и ту же величину.
