ما هو السهم (Sagitta)؟
السهم — وكلمة "Sagitta" تعني "السهم" باللاتينية — هو ارتفاع القوس الدائري مقيسًا من منتصف وتره إلى منتصف القوس نفسه. وهو يصف مقدار انحناء القوس بعيدًا عن وتره. ويظهر هذا المصطلح في علم البصريات والرماية والهندسة الإنشائية وأعمال النجارة، وكذلك في تصميم الطرق والسكك الحديدية حيث تكثر الأشكال المنحنية.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل نصف القطر r للدائرة وطول الوتر c (المسافة المستقيمة بين طرفي القوس). تُرجع الحاسبة قيمة السهم وطول القوس والزاوية المركزية التي يقابلها الوتر. تأكّد من أن الوتر ليس أطول من القطر (\(c \le 2r\))، وإلا أصبح الشكل الهندسي مستحيلًا.
شرح المعادلة
يُستنتج السهم مباشرة من نظرية فيثاغورس. فنصف الوتر (\(c/2\)) ومحور التماثل (المسافة من المركز إلى الوتر) ونصف القطر تكوّن مثلثًا قائم الزاوية. ويساوي محور التماثل \(\sqrt{r^{2} - (c/2)^{2}}\)، ومن ثم فإن السهم هو نصف القطر مطروحًا منه محور التماثل:
$$s = r - \sqrt{r^{2} - \left(\dfrac{c}{2}\right)^{2}}$$أما الزاوية المركزية فهي \(\theta = 2\cdot\arcsin(c / 2r)\)، وطول القوس هو \(L = r\cdot\theta\) (حيث \(\theta\) مقيسة بالراديان).
مثال محلول
لنفترض أن \(r = 5\) وأن \(c = 8\). إذن \(c/2 = 4\)، و \(r^{2} - (c/2)^{2} = 25 - 16 = 9\)، أي \(\sqrt{9} = 3\). فيكون السهم \(5 - 3 = 2\). والزاوية المركزية هي \(2\cdot\arcsin(4/5) \approx 1.8546\) راديان \(\approx 106.26°\)، وطول القوس هو \(5 \times 1.8546 \approx 9.273\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو عرفت السهم والوتر دون نصف القطر؟ يمكنك إعادة ترتيب المعادلة: \(r = (s^{2} + (c/2)^{2}) / (2s)\).
لماذا يقتصر الوتر على 2r؟ أطول وتر ممكن في الدائرة هو القطر، وهو يساوي \(2r\). وأي قيمة أكبر من ذلك ليس لها حل هندسي حقيقي.
هل السهم هو نفسه ارتفاع القطعة الدائرية؟ نعم — فالسهم وارتفاع القوس وارتفاع القطعة الدائرية كلها تشير إلى القياس نفسه.
