¿Qué es la sagita?
La sagita (del latín «flecha») es la altura de un arco circular medida desde el punto medio de su cuerda hasta el punto medio del propio arco. Indica cuánto se aleja un arco de su cuerda, es decir, cuánto se «abomba». Este concepto aparece en óptica, tiro con arco, ingeniería estructural, carpintería y el diseño de carreteras y vías férreas, donde las formas curvas están por todas partes.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el radio r de la circunferencia y la longitud de la cuerda c (la distancia en línea recta entre los dos extremos del arco). La calculadora te devuelve la sagita, la longitud del arco y el ángulo central que abarca la cuerda. Asegúrate de que la cuerda no sea más larga que el diámetro (\(c \le 2r\)); de lo contrario, la geometría no tiene sentido.
La fórmula explicada
La sagita se deduce directamente del teorema de Pitágoras. La semicuerda (\(c/2\)), el apotema (la distancia del centro a la cuerda) y el radio forman un triángulo rectángulo. El apotema es igual a \(\sqrt{r^{2} - (c/2)^{2}}\), por lo que la sagita es el radio menos el apotema:
$$s = r - \sqrt{r^{2} - \left(\dfrac{c}{2}\right)^{2}}$$
El ángulo central es \(\theta = 2\cdot\arcsin(c / 2r)\), y la longitud del arco es \(L = r\cdot\theta\) (con \(\theta\) en radianes).
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(r = 5\) y \(c = 8\). Entonces \(c/2 = 4\), y \(r^{2} - (c/2)^{2} = 25 - 16 = 9\), así que \(\sqrt{9} = 3\). La sagita es \(5 - 3 = 2\). El ángulo central es $$2\cdot\arcsin(4/5) \approx 1{,}8546 \text{ rad} \approx 106{,}26°,$$ y la longitud del arco es \(5 \times 1{,}8546 \approx 9{,}273\).
Preguntas frecuentes
¿Y si conozco la sagita y la cuerda, pero no el radio? Puedes despejarlo: \(r = (s^{2} + (c/2)^{2}) / (2s)\).
¿Por qué la cuerda no puede superar 2r? La cuerda más larga posible en una circunferencia es el diámetro, que equivale a \(2r\). Un valor mayor no tiene solución geométrica real.
¿La sagita es lo mismo que la altura del segmento? Sí: sagita, altura del arco y altura de un segmento circular se refieren todas a la misma medida.
