새짓타란 무엇인가요?
새짓타(sagitta)는 라틴어로 "화살"을 뜻하며, 현의 중점에서 호의 중점까지 측정한 원호의 높이를 가리킵니다. 즉, 호가 현으로부터 얼마나 활처럼 휘어져 솟아오르는지를 나타내는 값입니다. 이 개념은 광학, 양궁, 구조 공학, 목공, 그리고 곡선 형태가 곳곳에 쓰이는 도로·철도 설계 등 다양한 분야에서 등장합니다.
계산기 사용 방법
원의 반지름 r과 현의 길이 c(호의 양 끝점을 잇는 직선 거리)를 입력하세요. 그러면 새짓타, 호의 길이, 그리고 현이 이루는 중심각이 함께 계산됩니다. 단, 현은 지름보다 길 수 없으므로(\(c \le 2r\)) 이 조건을 반드시 지켜야 합니다. 그렇지 않으면 기하학적으로 성립할 수 없는 값이 됩니다.
공식 풀이
새짓타는 피타고라스 정리에서 곧바로 유도됩니다. 현의 절반(\(c/2\)), 중심에서 현까지의 거리(아포템), 그리고 반지름이 직각삼각형을 이룹니다. 아포템은 \(\sqrt{r^2 - (c/2)^2}\)이므로, 새짓타는 반지름에서 아포템을 뺀 값이 됩니다.
$$s = r - \sqrt{r^{2} - \left(\dfrac{c}{2}\right)^{2}}$$중심각은 \(\theta = 2\cdot\arcsin(c / 2r)\)이고, 호의 길이는 \(L = r\cdot\theta\)입니다(\(\theta\)는 라디안 단위).
예제 계산
\(r = 5\), \(c = 8\)이라고 가정해 봅시다. 그러면 \(c/2 = 4\)이고, \(r^2 - (c/2)^2 = 25 - 16 = 9\)이므로 \(\sqrt{9} = 3\)입니다. 따라서 새짓타는 \(5 - 3 = 2\)가 됩니다. 중심각은 \(2\cdot\arcsin(4/5) \approx 1.8546\ \text{rad} \approx 106.26°\)이며, 호의 길이는 \(5 \times 1.8546 \approx 9.273\)입니다.
자주 묻는 질문
새짓타와 현은 아는데 반지름을 모르면 어떻게 하나요? 식을 변형하면 됩니다: $$r = \frac{s^{2} + \left(\dfrac{c}{2}\right)^{2}}{2s}$$
현이 왜 2r로 제한되나요? 원 안에서 가능한 가장 긴 현은 지름이며, 지름은 \(2r\)과 같습니다. 이보다 큰 값은 실제 기하학적 해가 존재하지 않습니다.
새짓타가 분절(segment) 높이와 같은 건가요? 네, 같습니다. 새짓타, 호의 높이, 원호 분절의 높이는 모두 동일한 측정값을 가리킵니다.
