호의 길이란?
호의 길이는 원의 곡선을 따라 두 점 사이를 잰 거리입니다. 호가 이루는 중심각을 라디안 단위로 나타내면 그 관계가 놀라울 만큼 간단해집니다. 바로 \(s = r \times \theta\)죠. 이처럼 라디안은 원을 측정하기에 가장 자연스러운 단위입니다. 각이 그대로 반지름에 곱해져 길이로 변환되기 때문입니다.
계산기 사용법
원의 반지름(\(r\))과 중심각(\(\theta\))을 라디안 단위로 입력하세요. 계산기가 반지름과 같은 단위로 호의 길이를 즉시 알려 줍니다. 또한 호의 양 끝점을 잇는 직선 거리인 현의 길이도 참고용으로 함께 표시합니다. 각이 도(°) 단위라면 먼저 \(\pi/180\)을 곱해 라디안으로 변환하세요.
공식 풀이
한 바퀴 전체 원은 \(2\pi\) 라디안이며 둘레는 \(2\pi r\)입니다. 따라서 원의 \(\theta/(2\pi)\) 만큼을 차지하는 호의 길이는 $$\left(\frac{\theta}{2\pi}\right) \cdot 2\pi r = r\theta$$ 가 됩니다. 현은 두 반지름과 현이 만드는 이등변삼각형을 이용해 구합니다. $$c = 2r \cdot \sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)$$ 이죠.
예제로 살펴보기
\(r = 5\), \(\theta = 1.5708\) 라디안(90°)이라고 해 봅시다. 그러면 $$s = 5 \times 1.5708 = 7.854 \text{ 단위}$$ 입니다. 현은 $$2 \times 5 \times \sin(0.7854) = 10 \times 0.7071 = 7.071 \text{ 단위}$$ 가 됩니다. 예상대로 곡선인 호가 직선인 현보다 조금 더 깁니다.
자주 묻는 질문
꼭 라디안을 써야 하나요? 네. \(s = r\theta\) 공식은 라디안 단위에서만 성립합니다. 도(°) 단위는 \(\theta = \text{도} \times \pi/180\)으로 변환하세요.
결과는 어떤 단위로 나오나요? 호의 길이는 반지름과 같은 단위(cm, m, 인치 등)로 표시됩니다.
현의 길이는 왜 함께 보여 주나요? 설계나 공학 작업에서는 곡선 거리와 호를 가로지르는 직선 거리가 모두 필요한 경우가 많기 때문입니다.
