각도 기준 호의 길이 계산기란?
이 계산기는 원의 반지름과 도(°) 단위의 중심각을 알 때 원호의 길이를 구해 줍니다. 호란 원둘레의 일부를 말하며, 그 길이는 중심각이 360° 전체 중에서 차지하는 비율에 비례합니다. 즉 각도가 클수록 호도 길어집니다.
사용 방법
먼저 반지름(\(r\))을 원하는 단위로 입력하세요. 센티미터, 미터, 인치 등 어떤 단위든 상관없습니다. 그다음 중심각을 도(0~360°) 단위로 입력합니다. 계산기는 반지름과 같은 단위로 호의 길이를 알려 주며, 참고용으로 라디안으로 변환한 각도와 원 전체 둘레도 함께 보여 줍니다.
공식 풀이
원의 전체 둘레는 \(2\pi r\)입니다. 중심각이 \(\theta\)도라면 전체 원의 \(\theta/360\)만큼을 차지하므로 호의 길이는 다음과 같습니다.
$$L = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$$
한 바퀴가 360°이기 때문에, 입력한 각도를 360으로 나누면 호가 둘레에서 차지하는 비율이 나옵니다.
계산 예시
예를 들어 \(r = 10\)이고 중심각이 90°(사분원)라고 해 봅시다. 그러면 $$L = \frac{90}{360} \times 2\pi \times 10 = 0.25 \times 62.8319 = 15.708$$단위가 됩니다. 라디안으로 환산한 각도는 \(90 \times \pi/180 = 1.5708\)이고, 원 전체 둘레는 \(62.832\)입니다.
각도별 호의 길이
아래 표는 단위원(반지름 \(r=1\))을 사용합니다. 호의 길이는 \(L=\dfrac{\theta}{360}\times 2\pi r\)로 계산됩니다. 다른 반지름의 경우, "r의 배수" 열에 반지름을 곱하면 됩니다.
| 각도 (도) | 라디안 | 호의 길이 (r의 배수) | 호의 길이 (소수, r=1) | 원의 비율 |
|---|---|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | \(\tfrac{\pi}{6}\,r\) | 0.5236 | 1/12 |
| 45° | \(\pi/4\) | \(\tfrac{\pi}{4}\,r\) | 0.7854 | 1/8 |
| 60° | \(\pi/3\) | \(\tfrac{\pi}{3}\,r\) | 1.0472 | 1/6 |
| 90° | \(\pi/2\) | \(\tfrac{\pi}{2}\,r\) | 1.5708 | 1/4 |
| 120° | \(2\pi/3\) | \(\tfrac{2\pi}{3}\,r\) | 2.0944 | 1/3 |
| 180° | \(\pi\) | \(\pi\,r\) | 3.1416 | 1/2 |
| 270° | \(3\pi/2\) | \(\tfrac{3\pi}{2}\,r\) | 4.7124 | 3/4 |
| 360° | \(2\pi\) | \(2\pi\,r\) | 6.2832 | 1 (전체 원) |
주요 용어
- 호(Arc) — 원의 둘레의 연속된 부분입니다. 그 길이 \(L\)은 반지름과 중심각으로부터 이 계산기가 찾는 값입니다.
- 중심각(θ) — 원의 중심에서 호의 경계를 이루는 두 반지름으로 이루어진 각도이며, 도 단위로 측정됩니다. 더 큰 \(\theta\)는 더 긴 호를 그으며, 360°에서는 호가 전체 둘레가 됩니다.
- 반지름(r) — 중심에서 원 위의 임의의 점까지의 거리입니다. 호의 길이는 \(r\)에 직접 비례합니다: 반지름을 두 배로 늘리면 같은 각도의 호도 두 배가 됩니다.
- 라디안(Radian) — 반지름과 같은 길이의 호를 그으르는 각도입니다. \(360^\circ = 2\pi\) 라디안이므로, 라디안으로 변환하면 간단한 형태 \(L = r\theta_{\text{rad}}\)를 얻습니다.
- 둘레(Circumference) — 전체 원의 호의 길이로, \(C = 2\pi r\)입니다. 모든 호의 길이는 이 값의 \(\theta/360\) 비율입니다.
- 현(Chord) — 호의 두 끝점을 연결하는 직선입니다. 이는 항상 그것이 뻗어 있는 호보다 짧으며 호의 길이와 같지 않습니다.
- 부채꼴(Sector) — 호와 그 두 반지름으로 경계지어진 "파이 조각" 영역입니다. 호는 그 곡선 경계이며, 그 넓이는 \(\tfrac{\theta}{360}\pi r^2\)입니다.
자주 묻는 질문
호의 길이는 어떤 단위로 나오나요? 입력한 반지름과 같은 단위로 표시됩니다. \(r\)을 미터로 넣었다면 호의 길이도 미터 단위입니다.
각도가 360°를 넘어도 되나요? 이 계산기는 각도를 0~360°로 제한합니다. 한 바퀴를 넘는 각도는 먼저 360°의 배수를 빼고 입력하세요.
현(弦)의 길이는 어떻게 구하나요? 현(호의 양 끝점을 잇는 직선)의 길이는 \(2r \times \sin(\theta/2)\)로, 곡선인 호의 길이와는 다릅니다.
