什麼是「依角度求弧長」計算器？
這個計算器可以在你已知圓的半徑與以「度」為單位的圓心角時，算出圓弧的長度。所謂的弧，其實就是圓周的一段；而這段弧的長度，會與圓心角所佔整個 360° 的比例成正比。換句話說，角度越大，弧就越長。
如何使用
先輸入半徑（r），單位隨你選擇——公分、公尺、英吋都可以。接著輸入圓心角的度數（0 到 360）。計算器會以與半徑相同的單位回傳弧長，並一併顯示換算後的弧度，以及整個圓的周長，方便你對照參考。
公式說明
一個圓的完整周長為 \(2\pi r\)。當圓心角為 \(\theta\) 度時，它涵蓋了整個圓的 \(\theta/360\)，因此弧長為：
$$L = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$$由於整個圓是 360°，把你的角度除以 360，就能得到這段弧佔整個圓周的比例。
實例演算
假設 \(r = 10\)，圓心角為 90°（也就是四分之一圓）。則 $$L = \frac{90}{360} \times 2\pi \times 10 = 0.25 \times 62.8319 = 15.708$$（單位）。換算成弧度為 \(90 \times \pi/180 = 1.5708\)，整個圓周長則是 62.832。
常見圓弧長度（按角度分類）
下表使用單位圓（半徑 \(r=1\)）。圓弧長度使用 \(L=\dfrac{\theta}{360}\times 2\pi r\) 計算。對於任何其他半徑，只需將「r 的倍數」欄乘以您的半徑。
| 角度（度數） | 弧度 | 圓弧長度（r 的倍數） | 圓弧長度（十進制，r=1） | 圓的比例 |
|---|---|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | \(\tfrac{\pi}{6}\,r\) | 0.5236 | 1/12 |
| 45° | \(\pi/4\) | \(\tfrac{\pi}{4}\,r\) | 0.7854 | 1/8 |
| 60° | \(\pi/3\) | \(\tfrac{\pi}{3}\,r\) | 1.0472 | 1/6 |
| 90° | \(\pi/2\) | \(\tfrac{\pi}{2}\,r\) | 1.5708 | 1/4 |
| 120° | \(2\pi/3\) | \(\tfrac{2\pi}{3}\,r\) | 2.0944 | 1/3 |
| 180° | \(\pi\) | \(\pi\,r\) | 3.1416 | 1/2 |
| 270° | \(3\pi/2\) | \(\tfrac{3\pi}{2}\,r\) | 4.7124 | 3/4 |
| 360° | \(2\pi\) | \(2\pi\,r\) | 6.2832 | 1（完整圓） |
關鍵術語
- 圓弧——圓周邊緣的連續部分。其長度 \(L\) 是本計算機根據半徑和圓心角求得的值。
- 圓心角（θ）——在圓心處由限制圓弧的兩條半徑形成的角度，此處以度數測量。較大的 \(\theta\) 會掃過更長的圓弧；在 360° 時，圓弧變成整個圓周。
- 半徑（r）——從圓心到圓上任意點的距離。圓弧長度與 \(r\) 直接成比例：半徑加倍，相同角度的圓弧也加倍。
- 弧度——對應於長度等於半徑的圓弧的角度。因為 \(360^\circ = 2\pi\) 弧度，轉換為弧度得出簡潔形式 \(L = r\theta_{\text{弧度}}\)。
- 圓周——完整圓的圓弧長度，\(C = 2\pi r\)。每條圓弧長度是此值的 \(\theta/360\) 的分數。
- 弦——連接圓弧兩個端點的直線。它總是比它所跨越的圓弧短，與圓弧長度不同。
- 扇形——由圓弧及其兩條半徑所限制的「扇形」區域。圓弧是其曲邊界；其面積是 \(\tfrac{\theta}{360}\pi r^2\)。
常見問題
弧長的單位是什麼？與你輸入的半徑單位相同。若 r 以公尺為單位，弧長就是以公尺計算。
角度可以超過 360° 嗎？本工具將角度限制在 0–360° 之間。若角度超過一整圈，請先減去 360° 的整數倍再輸入。
如果我想求弦長該怎麼辦？弦（連接弧兩端點的直線）長度為 \(2r \times \sin(\theta/2)\)，與彎曲的弧長並不相同。
