चाप की लंबाई क्या होती है?
चाप की लंबाई वृत्त के घुमावदार किनारे पर मापी गई वह दूरी है जो दो बिंदुओं के बीच होती है। जब चाप द्वारा बनाया गया केंद्रीय कोण रेडियन में दिया जाता है, तो इनका रिश्ता बेहद आसान हो जाता है: \(s = r \times \theta\)। यही वजह है कि वृत्तीय माप के लिए रेडियन सबसे स्वाभाविक इकाई मानी जाती है — कोण सीधे त्रिज्या को एक लंबाई में बदल देता है।
इस कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें
वृत्त की त्रिज्या (r) और केंद्रीय कोण (θ) रेडियन में दर्ज करें। कैलकुलेटर तुरंत आपकी त्रिज्या की इकाई में चाप की लंबाई बता देगा। साथ ही यह जीवा की लंबाई भी दिखाता है — यानी चाप के दोनों सिरों के बीच की सीधी रेखा वाली दूरी, जो संदर्भ के लिए काम आती है। अगर आपका कोण डिग्री में है, तो पहले उसे π/180 से गुणा करके रेडियन में बदल लें।
सूत्र की पूरी समझ
एक पूरा वृत्त 2π रेडियन का होता है और उसकी परिधि 2πr होती है। जो चाप वृत्त का θ/(2π) हिस्सा घेरता है, उसकी लंबाई \(\left(\frac{\theta}{2\pi}\right)\cdot 2\pi r = r\theta\) होती है। जीवा निकालने के लिए दो त्रिज्याओं और जीवा से बने समद्विबाहु त्रिभुज का इस्तेमाल किया जाता है:
$$c = 2r\cdot\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(r = 5\) और \(\theta = 1.5708\) रेडियन (90°) है। तो $$s = 5 \times 1.5708 = 7.854 \text{ इकाई}$$ जीवा होगी $$2 \times 5 \times \sin(0.7854) = 10 \times 0.7071 = 7.071 \text{ इकाई}$$ जैसा अनुमान था, घुमावदार चाप सीधी जीवा से थोड़ा लंबा होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या रेडियन का इस्तेमाल ज़रूरी है? हाँ — \(s = r\theta\) सूत्र सिर्फ़ रेडियन के साथ ही सही काम करता है। डिग्री को \(\theta = \text{डिग्री} \times \frac{\pi}{180}\) से रेडियन में बदलें।
उत्तर किस इकाई में आता है? चाप की लंबाई उसी इकाई में होती है जिसमें त्रिज्या दी गई है (सेमी, मीटर, इंच आदि)।
जीवा की लंबाई भी क्यों दिखाई जाती है? कई डिज़ाइन और इंजीनियरिंग कामों में घुमावदार दूरी और चाप के आर-पार की सीधी दूरी, दोनों की ज़रूरत पड़ती है।
