सजिटा क्या है?
सजिटा (लैटिन शब्द जिसका अर्थ है "तीर") किसी वृत्ताकार चाप की वह ऊँचाई है जो उसकी जीवा के मध्यबिंदु से चाप के मध्यबिंदु तक नापी जाती है। यह बताती है कि चाप अपनी जीवा से कितनी दूर तक उभरकर बाहर निकला है। यह शब्द प्रकाशिकी, तीरंदाज़ी, संरचनात्मक इंजीनियरिंग, लकड़ी के काम तथा सड़क और रेल डिज़ाइन में काम आता है, जहाँ हर ओर वक्राकार आकृतियाँ मौजूद रहती हैं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
वृत्त की त्रिज्या r और जीवा की लंबाई c (चाप के दोनों सिरों के बीच की सीधी दूरी) दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको सजिटा, चाप की लंबाई और जीवा द्वारा बनने वाला केंद्रीय कोण लौटाएगा। ध्यान रखें कि जीवा व्यास से लंबी न हो (\(c \le 2r\)); अन्यथा ऐसी ज्यामिति संभव ही नहीं होती।
सूत्र की व्याख्या
सजिटा सीधे पाइथागोरस प्रमेय से निकलता है। आधी जीवा (\(c/2\)), अपोथेम (केंद्र से जीवा तक की दूरी) और त्रिज्या मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। अपोथेम \(\sqrt{r^{2} - (c/2)^{2}}\) के बराबर होता है, इसलिए सजिटा त्रिज्या में से अपोथेम घटाने पर मिलता है:
$$s = r - \sqrt{r^{2} - \left(\dfrac{c}{2}\right)^{2}}$$केंद्रीय कोण \(\theta = 2 \cdot \arcsin(c / 2r)\) होता है, और चाप की लंबाई \(L = r \cdot \theta\) होती है (जहाँ \(\theta\) रेडियन में हो)।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(r = 5\) और \(c = 8\) है। तब \(c/2 = 4\), और \(r^{2} - (c/2)^{2} = 25 - 16 = 9\), इसलिए \(\sqrt{9} = 3\)। सजिटा \(5 - 3 = 2\) होगा। केंद्रीय कोण \(2 \cdot \arcsin(4/5) \approx 1.8546\) रेडियन \(\approx 106.26°\) है, और चाप की लंबाई \(5 \times 1.8546 \approx 9.273\) होती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर मुझे सजिटा और जीवा पता हो, पर त्रिज्या नहीं, तो? आप सूत्र को इस तरह पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: \(r = (s^{2} + (c/2)^{2}) / (2s)\)।
जीवा 2r तक ही सीमित क्यों है? किसी वृत्त में सबसे लंबी संभव जीवा उसका व्यास होती है, जो \(2r\) के बराबर होता है। इससे बड़े मान का कोई वास्तविक ज्यामितीय हल नहीं होता।
क्या सजिटा और वृत्तखंड की ऊँचाई एक ही चीज़ हैं? हाँ — सजिटा, चाप की ऊँचाई और वृत्तखंड की ऊँचाई, ये सभी एक ही माप को दर्शाते हैं।
