Что такое длина дуги?
Длина дуги — это расстояние, измеренное вдоль изогнутого края окружности между двумя точками. Когда центральный угол, на который опирается дуга, задан в радианах, зависимость получается удивительно простой: \(s = r \times \theta\). Именно поэтому радианы — естественная единица измерения для всего, что связано с окружностью: угол напрямую превращает радиус в длину.
Как пользоваться калькулятором
Введите радиус окружности (r) и центральный угол (θ) в радианах. Калькулятор мгновенно покажет длину дуги в тех же единицах, что и радиус. Дополнительно он рассчитывает длину хорды — прямого отрезка между двумя концами дуги. Если ваш угол задан в градусах, сначала переведите его в радианы, умножив на \(\pi/180\).
Разбор формулы
Полная окружность составляет \(2\pi\) радиан, а её длина равна \(2\pi r\). Дуга, занимающая долю \(\theta/(2\pi)\) от всей окружности, имеет длину $$\left(\frac{\theta}{2\pi}\right) \cdot 2\pi r = r\theta.$$ Для хорды используется равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами и самой хордой: $$c = 2r \cdot \sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right).$$
Пример расчёта
Пусть \(r = 5\) и \(\theta = 1{,}5708\) радиан (90°). Тогда $$s = 5 \times 1{,}5708 = 7{,}854 \text{ единиц.}$$ Хорда равна $$2 \times 5 \times \sin(0{,}7854) = 10 \times 0{,}7071 = 7{,}071 \text{ единиц.}$$ Как и следовало ожидать, изогнутая дуга немного длиннее прямой хорды.
Частые вопросы
Обязательно ли использовать радианы? Да — формула \(s = r\theta\) работает только с радианами. Градусы переведите по формуле \(\theta = \text{градусы} \times \pi/180\).
В каких единицах получается ответ? Длина дуги выражается в тех же единицах, что и радиус (см, м, дюймы и т. д.).
Зачем показывать ещё и хорду? Во многих задачах проектирования и инженерных расчётов нужны и длина по дуге, и прямое расстояние между её концами.
