ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بجدولة تكامل الجيب الزائدي Shi(x) وتكامل جيب التمام الزائدي Chi(x) عبر نطاق من قيم x تحدّده بنفسك، ثم ترسم المنحنيَين معًا على رسم بياني واحد. وهاتان الدالتان هما النظيران الزائديان لتكاملي الجيب وجيب التمام المثلثيين Si(x) وCi(x)، وتظهران في مسائل التوصيل الحراري وتحليل الإشارات والسلوك المقارب للدوال الخاصة.
طريقة الاستخدام
أدخل ثلاثة أرقام: القيمة الابتدائية لـ x (الصف الأول)، ومقدار الزيادة (الخطوة) بين كل صف والذي يليه، وعدد التكرارات (كم صفًا تريد توليده). عندئذٍ يمتد الجدول وفق العلاقة \(x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}\) حيث \(i\) من 0 إلى \(\text{count}-1\). على سبيل المثال: بداية 0، وخطوة 0.5، وعدد 3 تنتج صفوفًا عند \(x = 0\) و\(0.5\) و\(1.0\).
شرح الصيغ
بحسب التعريف: \(\operatorname{Shi}(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sinh(t)}{t}\,dt\) و \(\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln|x| + \int_{0}^{x} \frac{\cosh t - 1}{t}\,dt\)، حيث \(\gamma \approx 0.5772156649\) هو ثابت أويلر-ماسكيروني. وتحسب الأداة المتسلسلتين المكافئتين السريعتي التقارب:
$$\operatorname{Shi}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)\,(2k+1)!} \qquad \operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)\,(2k)!}$$تُجمَّع الحدود عبر تحديث نسبي لتفادي طفح المضروب، ويتوقف الحساب بمجرد أن يصبح أحد الحدود مهملًا.
مثال محلول
عند \(x = 1\): $$\operatorname{Shi}(1) = 1 + \tfrac{1}{18} + \tfrac{1}{600} + \tfrac{1}{35280} + \dots \approx 1.0572509$$ وأما $$\operatorname{Chi}(1) = 0.5772157 + \ln 1 + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{96} + \tfrac{1}{4320} + \dots \approx 0.8378695$$
الأسئلة الشائعة
لماذا تظهر Chi(0) كقيمة غير معرَّفة؟ تحتوي الدالة Chi(x) على الحد \(\ln x\) الذي يتباعد إلى \(-\infty\) عندما يقترب \(x\) من الصفر، لذا فإن Chi غير منتهية عند الصفر.
ماذا عن قيم x السالبة؟ الدالة Shi فردية، أي أن \(\operatorname{Shi}(-x) = -\operatorname{Shi}(x)\)، وتُحسب بشكل طبيعي. أما Chi(x) فهي حقيقية فقط عندما \(x > 0\) (إذ تكتسب جزءًا تخيليًا قدره \(-i\pi\) عندما \(x < 0\))، لذا يضع الجدول علامة «غير معرَّفة» لـ Chi عندما \(x \le 0\).
ما مدى دقّتها؟ بالنسبة للقيم المعتدلة من \(|x|\) (حتى نحو 10 تقريبًا) تعطي المتسلسلة دقة مضاعفة كاملة، ويتقارب التكرار في نحو 20 إلى 40 حدًّا.
