로그 적분 li(x)란?
로그 적분은 \(\operatorname{li}(x)\)로 표기하며, \(1/\ln(t)\)를 0부터 \(x\)까지 적분한 값으로 정의되는 특수 함수입니다. 피적분함수가 \(t = 1\)에서 특이점을 가지므로, \(x > 1\)인 경우 이 적분은 코시 주값(Cauchy principal value)으로 계산합니다. \(\operatorname{li}(x)\)는 해석적 정수론에서 핵심적인 역할을 합니다. 소수 정리(Prime Number Theorem)에 따르면 소수 계량 함수 \(\pi(x)\)는 \(\operatorname{li}(x)\)에 점근적으로 수렴하며, \(\operatorname{li}(x)\)는 \(x\) 이하의 소수 개수를 근사하는 가장 간단하면서도 정밀한 함수 중 하나입니다. 이 계산기는 하한이 0인 오프셋 없는 정의 \(\operatorname{li}(x)\)를 사용하며, 오일러형 변형인 \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\)는 사용하지 않습니다.
계산기 사용 방법
세 가지 값을 입력하세요. \(x\)의 시작값, 각 행마다 더해지는 증분(스텝), 그리고 반복 횟수(행 수)입니다. 그러면 \(i\)번째 행에 $$x = \text{시작값} + i \times \text{스텝}$$ 과 그에 대응하는 \(\operatorname{li}(x)\) 값이 들어 있는 표가 만들어집니다. 또한 \(x\)에 대한 \(\operatorname{li}(x)\)의 선 그래프도 함께 생성됩니다. 의미 있는 실수 결과를 얻으려면 시작값을 0보다 크게 설정하세요. 일반적으로 많이 쓰이는 기본 설정은 시작값 2, 스텝 0.2, 반복 61회이며, 이 경우 \(x\)는 2.0부터 14.0까지 표로 계산됩니다.
공식 설명
$$\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)$$ 로 계산하며, 여기서 \(\operatorname{Ei}\)는 지수 적분(exponential integral)입니다. \(\operatorname{Ei}(z)\)는 수렴하는 급수 $$\operatorname{Ei}(z) = \gamma + \ln|z| + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\cdot k!}$$ 로 합산되며, \(\gamma = 0.5772156649\ldots\)는 오일러–마스케로니 상수입니다. 이 급수는 각 항이 누적합에 비해 무시할 만큼 작아질 때까지 더해집니다. 경계 조건은 표준 관례를 따릅니다. \(x \le 0\)이면 0을 반환하고, \(x = 1\)이면 음의 무한대(특이점)를 반환합니다.
계산 예시
\(x = 2\)일 때, \(z = \ln 2 = 0.6931472\)입니다. \(\gamma + \ln|z| +\) 급수를 모두 더하면 \(\operatorname{Ei}(0.6931472) = 1.0451638\)이 되므로 $$\operatorname{li}(2) = 1.04516378011749$$ 이며, 이는 공개된 참조값과 일치합니다. \(\operatorname{li}(x)\)의 유일한 양의 실근은 \(x = 1.45136923488\)(라마누잔–솔드너 상수)에 있으며, 이 지점에서 \(\operatorname{li}(x) = 0\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 li(x)는 x = 1 근처에서 발산하나요? 피적분함수 \(1/\ln(t)\)가 \(t = 1\)에서 특이점을 가지므로 \(\operatorname{li}(1) = -\infty\)이며, 이 지점 부근에서 함수가 급격하게 변합니다.
이 함수는 li(x)인가요, Li(x)인가요? 하한이 0인 오프셋 없는 \(\operatorname{li}(x)\)입니다. 오프셋 버전 \(\operatorname{Li}(x)\)는 여기에서 \(\operatorname{li}(2)\)를 뺀 값입니다.
시작값이 0이거나 음수이면 어떻게 되나요? \(x \le 0\)인 경우 실수 영역에서 로그 적분은 정의되지 않으므로, 계산기는 해당 행에 0을 반환합니다.
