로그 적분 li(x) 표 및 그래프 계산기

계산 입력

x의 시작값

증분

반복 횟수

결과

로그 적분 표가 생성되었습니다

61

li(x) 행 수

li(x) at first x = 2	1.0451637801
마지막 x에서의 li(x)	7.7808255956
증분(스텝)	0.2

x	li(x)
2	1.045163780
2.2	1.315238277
2.4	1.555670529
2.6	1.774144569
2.8	1.975643343
3	2.163588595
3.2	2.340435501
3.4	2.508008074
3.6	2.667700254
3.8	2.820602553
4	2.967585095
4.2	3.109353940
4.4	3.246490415
4.6	3.379479255
4.8	3.508729195
5	3.634588310
5.2	3.757355650
5.4	3.877290192
5.6	3.994617821
5.8	4.109536844
6	4.222222391
6.2	4.332829965
6.4	4.441498332
6.6	4.548351889
6.8	4.653502627
7	4.757051766
7.2	4.859091126
7.4	4.959704282
7.6	5.058967552
7.8	5.156950827
8	5.253718300
8.2	5.349329078
8.4	5.443837726
8.6	5.537294730
8.8	5.629746904
9	5.721237753
9.2	5.811807780
9.4	5.901494770
9.6	5.990334030
9.8	6.078358612
10	6.165599505
10.2	6.252085806
10.4	6.337844881
10.6	6.422902499
10.8	6.507282963
11	6.591009216
11.2	6.674102950
11.4	6.756584697
11.6	6.838473910
11.8	6.919789044
12	7.000547621
12.2	7.080766300
12.4	7.160460927
12.6	7.239646596
12.8	7.318337695
13	7.396547948
13.2	7.474290462
13.4	7.551577760
13.6	7.628421821
13.8	7.704834106
14	7.780825596

로그 적분 li(x)란?

로그 적분은 \(\operatorname{li}(x)\)로 표기하며, \(1/\ln(t)\)를 0부터 \(x\)까지 적분한 값으로 정의되는 특수 함수입니다. 피적분함수가 \(t = 1\)에서 특이점을 가지므로, \(x > 1\)인 경우 이 적분은 코시 주값(Cauchy principal value)으로 계산합니다. \(\operatorname{li}(x)\)는 해석적 정수론에서 핵심적인 역할을 합니다. 소수 정리(Prime Number Theorem)에 따르면 소수 계량 함수 \(\pi(x)\)는 \(\operatorname{li}(x)\)에 점근적으로 수렴하며, \(\operatorname{li}(x)\)는 \(x\) 이하의 소수 개수를 근사하는 가장 간단하면서도 정밀한 함수 중 하나입니다. 이 계산기는 하한이 0인 오프셋 없는 정의 \(\operatorname{li}(x)\)를 사용하며, 오일러형 변형인 \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\)는 사용하지 않습니다.

로그 적분 li(x)는 x=1에서 특이점을 가지며 x가 클수록 천천히 증가한다.

계산기 사용 방법

세 가지 값을 입력하세요. \(x\)의 시작값, 각 행마다 더해지는 증분(스텝), 그리고 반복 횟수(행 수)입니다. 그러면 \(i\)번째 행에 $$x = \text{시작값} + i \times \text{스텝}$$ 과 그에 대응하는 \(\operatorname{li}(x)\) 값이 들어 있는 표가 만들어집니다. 또한 \(x\)에 대한 \(\operatorname{li}(x)\)의 선 그래프도 함께 생성됩니다. 의미 있는 실수 결과를 얻으려면 시작값을 0보다 크게 설정하세요. 일반적으로 많이 쓰이는 기본 설정은 시작값 2, 스텝 0.2, 반복 61회이며, 이 경우 \(x\)는 2.0부터 14.0까지 표로 계산됩니다.

공식 설명

$$\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)$$ 로 계산하며, 여기서 \(\operatorname{Ei}\)는 지수 적분(exponential integral)입니다. \(\operatorname{Ei}(z)\)는 수렴하는 급수 $$\operatorname{Ei}(z) = \gamma + \ln|z| + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\cdot k!}$$ 로 합산되며, \(\gamma = 0.5772156649\ldots\)는 오일러–마스케로니 상수입니다. 이 급수는 각 항이 누적합에 비해 무시할 만큼 작아질 때까지 더해집니다. 경계 조건은 표준 관례를 따릅니다. \(x \le 0\)이면 0을 반환하고, \(x = 1\)이면 음의 무한대(특이점)를 반환합니다.

li(x)는 0에서 x까지 1/ln t 아래의 부호 있는 넓이다.

계산 예시

\(x = 2\)일 때, \(z = \ln 2 = 0.6931472\)입니다. \(\gamma + \ln|z| +\) 급수를 모두 더하면 \(\operatorname{Ei}(0.6931472) = 1.0451638\)이 되므로 $$\operatorname{li}(2) = 1.04516378011749$$ 이며, 이는 공개된 참조값과 일치합니다. \(\operatorname{li}(x)\)의 유일한 양의 실근은 \(x = 1.45136923488\)(라마누잔–솔드너 상수)에 있으며, 이 지점에서 \(\operatorname{li}(x) = 0\)이 됩니다.

자주 묻는 질문

왜 li(x)는 x = 1 근처에서 발산하나요? 피적분함수 \(1/\ln(t)\)가 \(t = 1\)에서 특이점을 가지므로 \(\operatorname{li}(1) = -\infty\)이며, 이 지점 부근에서 함수가 급격하게 변합니다.

이 함수는 li(x)인가요, Li(x)인가요? 하한이 0인 오프셋 없는 \(\operatorname{li}(x)\)입니다. 오프셋 버전 \(\operatorname{Li}(x)\)는 여기에서 \(\operatorname{li}(2)\)를 뺀 값입니다.

시작값이 0이거나 음수이면 어떻게 되나요? \(x \le 0\)인 경우 실수 영역에서 로그 적분은 정의되지 않으므로, 계산기는 해당 행에 0을 반환합니다.