¿Qué es el logaritmo integral li(x)?
El logaritmo integral, que se escribe \(\operatorname{li}(x)\), es una función especial definida como la integral de \(1/\ln(t)\) entre 0 y \(x\). Como el integrando presenta una singularidad en \(t = 1\), para \(x > 1\) la integral se interpreta como valor principal de Cauchy. Esta función es fundamental en la teoría analítica de números: el teorema de los números primos establece que la función contadora de primos \(\pi(x)\) es asintótica a \(\operatorname{li}(x)\), por lo que \(\operatorname{li}(x)\) es una de las mejores aproximaciones sencillas a la cantidad de primos menores que \(x\). Esta calculadora emplea la definición sin desplazamiento \(\operatorname{li}(x)\) (con límite inferior 0), no la variante euleriana \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\).
Cómo usar esta calculadora
Introduce tres valores: el valor inicial de \(x\), el incremento (paso) que se suma en cada fila y el número de iteraciones (filas). La herramienta construye una tabla en la que la fila \(i\) tiene \(x = \text{startX} + i \times \text{paso}\), junto con el valor correspondiente de \(\operatorname{li}(x)\). También se genera una gráfica de líneas de \(\operatorname{li}(x)\) frente a \(x\). Para obtener resultados reales con sentido, elige un valor inicial mayor que 0; el rango predeterminado más habitual es \(\text{startX} = 2\), paso \(= 0{,}2\) y 61 iteraciones, que tabula \(x\) desde 2,0 hasta 14,0.
La fórmula explicada
Evaluamos \(\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\), donde \(\operatorname{Ei}\) es la integral exponencial.
$$\operatorname{li}(x_i) = \int_{0}^{x_i} \frac{dt}{\ln t} = \operatorname{Ei}(\ln x_i)$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \text{Initial }x + i\cdot\text{Increment} \\ i &= 0,1,\dots,\text{Iterations}-1 \\ \operatorname{Ei}(z) &= \gamma + \ln|z| + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\cdot k!} \end{aligned} \right.$$\(\operatorname{Ei}(z)\) se calcula con la serie convergente \(\operatorname{Ei}(z) = \gamma + \ln|z| + \sum z^k/(k\cdot k!)\), donde \(\gamma = 0{,}5772156649\ldots\) es la constante de Euler-Mascheroni. La serie se acumula hasta que cada término resulta insignificante frente a la suma parcial. Los casos límite siguen las convenciones estándar: si \(x \le 0\) se devuelve 0, y si \(x = 1\) se devuelve menos infinito (la singularidad).
Ejemplo resuelto
Para \(x = 2\), tenemos \(z = \ln 2 = 0{,}6931472\). Al sumar \(\gamma + \ln|z| + \text{la serie}\) se obtiene \(\operatorname{Ei}(0{,}6931472) = 1{,}0451638\), de modo que $$\operatorname{li}(2) = 1{,}04516378011749,$$ que coincide con el valor de referencia publicado. La única raíz real positiva de \(\operatorname{li}(x)\) está en \(x = 1{,}45136923488\) (la constante de Ramanujan-Soldner), donde \(\operatorname{li}(x) = 0\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué li(x) se dispara cerca de x = 1? El integrando \(1/\ln(t)\) es singular en \(t = 1\), por lo que \(\operatorname{li}(1) = -\infty\) y la función varía con gran rapidez en torno a ese punto.
¿Es li(x) o Li(x)? Es \(\operatorname{li}(x)\) sin desplazamiento, con límite inferior 0. La versión desplazada \(\operatorname{Li}(x)\) resta \(\operatorname{li}(2)\).
¿Qué ocurre si mi valor inicial es 0 o negativo? Para \(x \le 0\) el logaritmo integral real no está definido, así que la calculadora devuelve 0 en esas filas.
