यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल केवल रेखाओं की ढलानों की मदद से उस कोण को निकालता है जो दो सीधी रेखाएँ एक-दूसरे को काटते समय बनाती हैं। आप रेखा 1 की ढलान (m₁) और रेखा 2 की ढलान (m₂) दर्ज करें, और यह दोनों के बीच का न्यून कोण डिग्री और रेडियन दोनों रूपों में बता देगा। यह किसी भी वास्तविक ढलान मान के लिए काम करता है और लंबवत (perpendicular) रेखाओं को अपने आप पहचान लेता है।
इसका उपयोग कैसे करें
1. हर रेखा की ढलान पता करें। यदि कोई रेखा y = mx + b के रूप में लिखी है, तो उसकी ढलान m है। यदि आपके पास दो बिंदु हैं, तो ढलान = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)। 2. m₁ और m₂ को संबंधित खानों में टाइप करें। 3. कोण पढ़ें। यह कैलकुलेटर हमेशा रेखाओं के बीच का न्यून कोण (0° से 90° तक) ही दिखाता है।
सूत्र की व्याख्या
दो रेखाओं के बीच का कोण θ इस सूत्र से मिलता है:
$$\theta = \arctan\left| \frac{\text{m}_1 - \text{m}_2}{1 + \text{m}_1 \cdot \text{m}_2} \right|$$अंश (numerator) यह बताता है कि दोनों ढलानें कितनी अलग हैं, जबकि हर (denominator) रेखाओं के झुकाव को ध्यान में रखता है। जब \(1 + \text{m}_1 \cdot \text{m}_2 = 0\) हो जाता है, तब यह व्यंजक अपरिभाषित हो जाता है क्योंकि उस स्थिति में रेखाएँ ठीक लंबवत होती हैं — ऐसी स्थिति में कोण 90° होता है। निरपेक्ष मान (absolute value) यह सुनिश्चित करता है कि उत्तर न्यून कोण ही हो, उसका अधिक कोण वाला पूरक (obtuse supplement) नहीं।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए रेखा 1 की ढलान \(\text{m}_1 = 1\) है और रेखा 2 की ढलान \(\text{m}_2 = 0\) है (यानी एक क्षैतिज रेखा)। तब
$$\frac{\text{m}_1 - \text{m}_2}{1 + \text{m}_1 \cdot \text{m}_2} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1,$$इसलिए \(\theta = \arctan(1) = 45°\)। ढलान 1 वाली रेखा वास्तव में क्षैतिज अक्ष के साथ 45° का कोण बनाती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर रेखाएँ समानांतर हों तो क्या होगा? यदि \(\text{m}_1 = \text{m}_2\) है, तो अंश 0 हो जाता है, इसलिए θ = 0°। समानांतर रेखाओं के बीच कोई कोण नहीं होता।
लंबवत (vertical) रेखा को कैसे संभालें? ऊर्ध्वाधर रेखाओं की ढलान अपरिभाषित होती है, इसलिए ढलान पर आधारित यह सूत्र सीधे लागू नहीं होता। इसके बजाय हर रेखा द्वारा x-अक्ष के साथ बनाया गया कोण इस्तेमाल करें।
उत्तर हमेशा न्यून कोण क्यों होता है? दो काटती रेखाएँ बराबर कोणों के दो जोड़े बनाती हैं, जिनका योग 180° होता है। सूत्र में मौजूद निरपेक्ष मान इनमें से छोटे (न्यून) कोण को चुनता है, जिसे ही परंपरागत रूप से रेखाओं के बीच का "कोण" माना जाता है।
