Hàm sai số là gì?
Hàm sai số, ký hiệu \(\operatorname{erf}(x)\), là một hàm đặc biệt xuất hiện khắp nơi trong xác suất, thống kê cũng như lý thuyết khuếch tán và dẫn nhiệt. Nó được định nghĩa bằng hai lần tích phân của hàm Gauss (đường cong hình chuông) từ 0 đến x, được chuẩn hóa sao cho \(\operatorname{erf}(\infty) = 1\). Một hàm có quan hệ chặt chẽ là hàm sai số bù, \(\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)\), dùng để đo diện tích phần đuôi của phân phối.
Cách dùng máy tính này
Bạn chỉ cần nhập một số thực x bất kỳ, máy tính sẽ trả về đồng thời cả \(\operatorname{erf}(x)\) và \(\operatorname{erfc}(x)\). Cả giá trị dương lẫn âm đều được hỗ trợ vì erf là một hàm lẻ: \(\operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x)\). Kết quả không có đơn vị và luôn nằm trong khoảng từ −1 đến 1.
Giải thích công thức
Hàm sai số không có dạng đóng sơ cấp, vì vậy ta phải tính bằng phương pháp số. Công cụ này sử dụng phép xấp xỉ đa thức hữu tỉ kinh điển 7.1.26 của Abramowitz & Stegun. Phép xấp xỉ đặt \(\tau = 1/(1 + px)\) với \(p = 0{,}3275911\) và các hệ số \(a_1 = 0{,}254829592\), \(a_2 = -0{,}284496736\), \(a_3 = 1{,}421413741\), \(a_4 = -1{,}453152027\), \(a_5 = 1{,}061405429\). Khi đó $$\operatorname{erf}(x) \approx 1 - (a_1\tau + a_2\tau^2 + a_3\tau^3 + a_4\tau^4 + a_5\tau^5)\cdot e^{-x^2}.$$ Sai số tuyệt đối lớn nhất của phép xấp xỉ này khoảng \(1{,}5 \times 10^{-7}\), đủ chính xác cho hầu hết mọi công việc kỹ thuật.
Ví dụ minh họa
Với \(x = 1\): $$\tau = \frac{1}{1 + 0{,}3275911} \approx 0{,}753139.$$ Tính đa thức rồi nhân với \(e^{-1}\) ta được \(\operatorname{erf}(1) \approx 0{,}842701\), khớp với giá trị thực \(0{,}8427008\). Giá trị bù tương ứng là \(\operatorname{erfc}(1) \approx 0{,}157299\).
Câu hỏi thường gặp
erf(x) nhận giá trị trong khoảng nào? Nó biến thiên từ −1 (khi \(x \to -\infty\)) đến +1 (khi \(x \to +\infty\)), và bằng 0 tại \(x = 0\).
Kết quả chính xác đến mức nào? Phép xấp xỉ cho độ chính xác khoảng 7 chữ số thập phân (sai số < 1,5e-7).
erfc được dùng để làm gì? Hàm sai số bù rất phổ biến trong tính xác suất phần đuôi, tỷ lệ lỗi bit (BER) trong truyền thông và các nghiệm của phương trình khuếch tán.
