Công cụ này làm gì
Công cụ này tính hàm Fibonacci \(F(v)\): phần mở rộng của dãy số Fibonacci quen thuộc từ các chỉ số nguyên sang bất kỳ số thực \(v\) nào. Nó dùng công thức dạng đóng (kiểu Binet) cho chỉ số thực và lập bảng các cặp (chỉ số \(v\), giá trị \(F(v)\)) trên dải mà bạn chọn. Đây là toán học thuần túy nên kết quả hoàn toàn như nhau ở mọi nơi.
Công thức
Gọi \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) là tỷ lệ vàng (khoảng \(1{,}6180339887\)) và lưu ý rằng \(\frac{1}{\varphi} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\). Hàm Fibonacci thực có dạng:
$$F(v) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\varphi^{v} - \left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{v}\cos(v\pi)\right]$$Với công thức Binet rời rạc \(F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}}\) trong đó \(\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\varphi}\), số hạng \(\psi^{v}\) lại đa trị khi \(v\) là số thực. Khi lấy nhánh thực, ta có \(\psi^{v} = \left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{v}\cos(v\pi)\), và cách này tái tạo chính xác công thức Binet cho số nguyên bởi vì \(\cos(n\pi) = (-1)^{n}\).
Cách sử dụng
Nhập Giá trị ban đầu của chỉ số \(v\) (giá trị \(v\) ở hàng đầu tiên), Bước tăng (mức thay đổi của \(v\) sau mỗi hàng, có thể âm) và Số lần lặp (số hàng cần tính). Máy tính sẽ liệt kê \(F(v)\) cho từng \(v_k = \text{chỉ số đầu} + k\cdot\text{bước tăng}\), đồng thời làm nổi bật giá trị đầu tiên và cuối cùng.
Ví dụ minh họa
Tại \(v = 10\): \(\varphi^{10} \approx 122{,}9919\) và \(\left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{10} \approx 0{,}00813\), với \(\cos(10\pi) = 1\). Vậy $$F(10) = \frac{122{,}9919 - 0{,}00813}{\sqrt{5}} = 55,$$ đúng bằng số Fibonacci thứ mười. Tại \(v = 0{,}5\), \(\cos(0{,}5\pi) = 0\), nên \(F(0{,}5) = \frac{\varphi^{0{,}5}}{\sqrt{5}} \approx 0{,}568864\).
Câu hỏi thường gặp
Công cụ có cho ra các số Fibonacci thông thường không? Có — tại mọi chỉ số nguyên, nó quy về đúng công thức Binet chuẩn, bao gồm cả các giá trị "negafibonacci" ứng với chỉ số âm.
Tại sao lại dùng \(\cos(v\pi)\)? Vì đó là nhánh thực của \(\psi^{v}\) và tạo ra dấu xen kẽ giúp các chỉ số nguyên cho kết quả chính xác.
Có những cách mở rộng khác không? Có; tồn tại các phép kéo dài giải tích dạng phức và dạng dùng hàm sin. Công cụ này áp dụng phép mở rộng nhánh thực cụ thể \(F(v) = \frac{\varphi^{v} - \left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{v}\cos(v\pi)}{\sqrt{5}}\).
