Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, Fibonacci fonksiyonu \(F(\nu)\)'yi hesaplar: alışıldık Fibonacci sayılarının tam sayı indislerden herhangi bir reel sayı \(\nu\)'ye genişletilmiş halini. Kapalı formdaki (Binet tarzı) reel uzantıyı kullanır ve seçtiğiniz aralık boyunca (indis \(\nu\), değer \(F(\nu)\)) çiftlerinden oluşan bir tablo oluşturur. Bu tamamen matematiksel bir konudur; dolayısıyla her yerde aynı şekilde geçerlidir.
Formül
\(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) altın oran olsun (yaklaşık 1,6180339887) ve \(\frac{1}{\varphi} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\) olduğunu hatırlayalım. Reel Fibonacci fonksiyonu şöyledir:
$$F(\nu) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\varphi^{\nu} - \left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)\right]$$\(\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\varphi}\) olmak üzere ayrık Binet formülü \(F(n) = \frac{\varphi^{n} - \psi^{n}}{\sqrt{5}}\) şeklindedir; ancak \(\psi^{\nu}\) terimi reel \(\nu\) için çok değerlidir. Reel dalı alındığında \(\psi^{\nu} = \left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)\) elde edilir ve \(\cos(n\pi) = (-1)^{n}\) olduğundan bu, tam sayı indislerde Binet formülünü birebir geri verir.
Nasıl kullanılır?
\(\nu\) indisinin başlangıç değerini (ilk satırın \(\nu\) değeri), artış miktarını (her satırda \(\nu\)'nin ne kadar değiştiği; negatif de olabilir) ve tekrar sayısını (kaç satır olacağını) girin. Hesaplayıcı, her \(\nu_k = \text{başlangıçİndisi} + k\cdot\text{adımBoyu}\) için \(F(\nu)\) değerini listeler ve ilk ile son değerleri vurgular.
Çözümlü örnek
\(\nu = 10\) için: \(\varphi^{10} \approx 122{,}9919\) ve \(\left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{10} \approx 0{,}00813\), ayrıca \(\cos(10\pi) = 1\). Dolayısıyla $$F(10) = \frac{122{,}9919 - 0{,}00813}{\sqrt{5}} = 55$$ olur ve bu, onuncu Fibonacci sayısıyla örtüşür. \(\nu = 0{,}5\) için \(\cos(0{,}5\pi) = 0\) olduğundan \(F(0{,}5) = \frac{\varphi^{0{,}5}}{\sqrt{5}} \approx 0{,}568864\) çıkar.
Sıkça sorulan sorular
Bilinen Fibonacci sayılarını verir mi? Evet — her tam sayı indiste, negatif indisli "negafibonacci" değerleri de dâhil olmak üzere standart Binet formülüne indirgenir.
Neden \(\cos(\nu\pi)\) kullanılıyor? Bu, \(\psi^{\nu}\)'nin reel dalıdır ve tam sayı indisleri tam sonuç verecek şekilde işaret değiştiren terimi sağlar.
Başka uzantılar mümkün mü? Evet; karmaşık değerli ve sinüs tabanlı analitik devamlar mevcuttur. Bu hesaplayıcı, belirli reel dal uzantısı olan \(F(\nu) = \frac{\varphi^{\nu} - \left(\tfrac{1}{\varphi}\right)^{\nu}\cos(\nu\pi)}{\sqrt{5}}\) ifadesini kullanır.
