Değiştirilmiş Küresel Bessel Fonksiyonları i_v(x), k_v(x) ve Türevleri Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Mertebe v (tam sayı, birimsiz)

x (argüman, x > 0) x ≤ 0 için gerçek değerli sonuçlar karmaşık veya tanımsız olabilir.

Formül

Show calculation steps (2)

1. Upward recurrence to order v

   

   Applied for v = Order >= 1 to reach i_v and k_v; n runs from 1 up to v.

2. Derivatives

   

   First derivatives of the modified spherical Bessel functions at order v.

Sonuç

Modified Spherical Bessel (first kind) i_v(x)

1,8134302039

birimsiz

Second kind kv(x)	0,1062920829
Derivative i'v(x)	-0,9743827436
Derivative k'v(x)	-0,1594381243

Bu hesaplayıcı ne işe yarar?

Bu araç, negatif olmayan bir tam sayı mertebe v ve pozitif gerçek bir argüman x için birinci tür i_v(x) ve ikinci tür k_v(x) değiştirilmiş küresel Bessel fonksiyonlarını, ayrıca bunların birinci türevleri i'_v(x) ve k'_v(x) değerlerini hesaplar. Bunlar matematiğin saf özel fonksiyonlarıdır; hiçbir bölgesel varsayım veya birim sistemi olmaksızın her yerde aynı şekilde geçerlidir.

Arka plan ve formül

Bu fonksiyonlar, \(x^{2}w'' + 2xw' - (x^{2} + v(v+1))w = 0\) şeklindeki değiştirilmiş küresel Bessel denkleminin çözümleridir. Silindirik değiştirilmiş Bessel fonksiyonlarıyla, yarım tam sayılık bir mertebe kayması üzerinden ilişkilidirler: \(i_v(x) = \sqrt{\pi/2x}\cdot I_{v+1/2}(x)\) ve \(k_v(x) = \sqrt{2/\pi x}\cdot K_{v+1/2}(x)\). +1/2 kayması, tam sayı v için mertebeyi yarım tam sayıya dönüştürdüğünden, fonksiyonlar sinh, cosh ve exp cinsinden temel ifadelere indirgenir. Başlangıç değerleri olarak

$$i_0 = \frac{\sinh x}{x}, \quad i_1 = \frac{\cosh x}{x} - \frac{\sinh x}{x^{2}}, \quad k_0 = \frac{\pi}{2x}\,e^{-x}, \quad k_1 = \frac{\pi}{2x}\,e^{-x}\!\left(1 + \frac{1}{x}\right)$$

alınır ve istenen mertebeye kadar yukarı doğru adım adım ilerlenir. Türevler ise

$$f'_v = -f_{v+1} + \frac{v}{x}\,f_v$$

bağıntısıyla bulunur.

x arttıkça birinci tür i_v(x) fonksiyonu büyür, ikinci tür k_v(x) ise azalır.

Nasıl kullanılır?

Tam sayı mertebe v (0, 1, 2, …) ile x > 0 olacak şekilde argüman x değerini girin ve dört çıktıyı okuyun. Burada kullanılan \(k_v(x)=\sqrt{2/\pi x}\,K_{v+1/2}(x)\) gösterim biçiminin, \(k_0\) ifadesinde görülen \(\pi/2\) çarpanını ortaya çıkardığını unutmayın; bazı kaynaklar bu çarpanı kullanmaz.

Çözümlü örnek (v = 0, x = 2)

\(i_0(2)=\sinh(2)/2=3.6268604/2=1.8134302\). \(i_1(2)=\cosh(2)/2-\sinh(2)/4=1.8810978-0.9067151=0.9743827\), dolayısıyla \(i'_0(2)=-i_1(2)=-0.9743827\). \(k_0(2)=(\pi/4)e^{-2}=0.1062930\), \(k_1(2)=k_0\cdot 1.5=0.1594394\), dolayısıyla \(k'_0(2)=-k_1(2)=-0.1594394\).

Sıkça sorulan sorular

Tam sayı olmayan v mertebesi kullanabilir miyim? Bu gerçek değerli sürüm, fonksiyonların temel ifadelere indirgendiği negatif olmayan tam sayı mertebeleri destekler. Tam sayı olmayan mertebeler için tam I/K Bessel hesabı gerekir.

x neden pozitif olmalı? \(x\rightarrow 0\) iken \(k_v(x)\) ıraksar ve \(x<0\) için sonuçlar karmaşık değerli hale gelir; bu nedenle gerçek değerli sürüm x > 0 koşulunu gerektirir.

i_v ile k_v arasındaki fark nedir? i_v üstel olarak büyür ve orijinde düzgündür; k_v ise üstel olarak azalır ve orijinde tekildir.